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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Fr 02.12.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Gegeben sei die reguläre Matrix
[mm] A=\pmat{5 & 3 & -1 \\ 4 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & -3}
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass A irreduzibel ist.
(b) Untersuchen Sie, ob das Jacobi-Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit der Matrix A konvergiert. |
Hallo!
(a) Kann ich hier zeigen, dass [mm] max_{i=1,...,n}\summe_{j=1, j\not= i}^{n}\bruch{|a_{ij}|}{|a_{ii}|} \le [/mm] 1 oder ist das nicht äquivalent zu irreduzibel?
(b) Jetzt heisst es im Skript, dass wenn A irreduzibel und diagonaldominant ist, also: [mm] max_{i=1,...,n}\summe_{j=1, j\not= i}^{n}\bruch{|a_{ij}|}{|a_{ii}|} \le [/mm] 1 erfüllt ist und es ein k gibt mit [mm] \summe_{j=1,j\not= k}^{n}\bruch{|a_{kj}|}{|a_{kk}|} [/mm] < 1 , dass das Jacobi-Verfahren für jeden bel. Startvektor [mm] x_0 [/mm] und für jede bel. Seite b gegen [mm] A^{-1}b [/mm] konvergiert.
Nach meiner Rechnung ist das erfüllt, also müsste es konvergieren.
Ist damit schon alles gezeigt?
Dankeschön schonmal!
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Hallo chesn,
> Gegeben sei die reguläre Matrix
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> [mm]A=\pmat{5 & 3 & -1 \\ 4 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & -3}[/mm]
>
> (a) Zeigen Sie, dass A irreduzibel ist.
>
> (b) Untersuchen Sie, ob das Jacobi-Verfahren zur Lösung
> eines linearen Gleichungssystems mit der Matrix A
> konvergiert.
> Hallo!
>
> (a) Kann ich hier zeigen, dass [mm]max_{i=1,...,n}\summe_{j=1, j\not= i}^{n}\bruch{|a_{ij}|}{|a_{ii}|} \le[/mm]
> 1 oder ist das nicht äquivalent zu irreduzibel?
>
Nein, das kannst Du so nicht zeigen, da dies nicht äquivalent zu irreduzibel ist.
> (b) Jetzt heisst es im Skript, dass wenn A irreduzibel und
> diagonaldominant ist, also: [mm]max_{i=1,...,n}\summe_{j=1, j\not= i}^{n}\bruch{|a_{ij}|}{|a_{ii}|} \le[/mm]
> 1 erfüllt ist und es ein k gibt mit [mm]\summe_{j=1,j\not= k}^{n}\bruch{|a_{kj}|}{|a_{kk}|}[/mm]
> < 1 , dass das Jacobi-Verfahren für jeden bel. Startvektor
> [mm]x_0[/mm] und für jede bel. Seite b gegen [mm]A^{-1}b[/mm] konvergiert.
>
> Nach meiner Rechnung ist das erfüllt, also müsste es
> konvergieren.
> Ist damit schon alles gezeigt?
>
Bei b) ist damit schon alles gezeigt.
> Dankeschön schonmal!
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:49 Sa 03.12.2011 | | Autor: | chesn |
Hat sich erledigt.. danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 05.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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