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| Aufgabe | Leiten Sie die folgenden Gleichungen aus der Jacobi Produktformel ab.
a) [mm] \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n q^{n^2} [/mm] = [mm] \produkt_{n=1}^{\infty} \frac{1-q^n}{1+q^n}
[/mm]
b) [mm] \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} q^{\vektor{n+1\\2}} [/mm] = [mm] \produkt_{n=1}^{\infty} \frac{1-q^{2n}}{1-q^{2n-1}}, [/mm] wobei [mm] \vektor{n+1\\2} [/mm] den Binomialkoeffizienten beschreibt. |
Die Jacobi Produktformel lautet
[mm] \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n q^{\frac{n(n-1)}{2}}a^n [/mm] = [mm] \produkt_{n=1}^{\infty} (1-aq^{n-1})(1-a^{-1}q^n)(1-q^n)
[/mm]
zu a)
Nach einigem Umformen und mit [mm] a=q^{\frac{n+1}{2}} [/mm] komme ich auf
[mm] \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n q^{n^2} [/mm] = [mm] \produkt_{n=1}^{\infty} (1-q^{\frac{n-1}{2}}-q^n+q^{n(n-1)})(1-q^n)
[/mm]
Mir fehlt jetzt das Argument, warum die beide rechten Seiten übereinstimmen.
Vielen Dank für eure Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 28.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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