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| Aufgabe | Lösen Sie die Gleichung:
[mm] $u_{x}-x^2*u_{y}=u [/mm] |
Mit der Methode der Charakteristiken findet man als Koordinatentrafo:
[mm] $w=\frac{1}{3}\cdot x^3 [/mm] + y$
dazu kann man ja entweder
[mm] $z_{1}=y$ [/mm] oder [mm] $z_{2}=x$ [/mm] wählen.
Nun ist die Jacobideterminante für [mm] $z_{1}$ [/mm] gleich [mm] $x^2$, [/mm] für [mm] $z_{2}$ [/mm] ist sie $-1$.
Ist [mm] $z_{1}$ [/mm] zulässig?
Das Ergebnis ist beidemale gleich, aber für x=0 wird die Jacobi-Determinante zu null, ist die Trafo also nicht zu gebrauchen weil sie nicht eindeutig ist?
Vielen Dank für eure Antwort
Mr._Calculus
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Hallo Mr._Calculus,
> Lösen Sie die Gleichung:
> [mm]$u_{x}-x^2*u_{y}=u[/mm]
> Mit der Methode der Charakteristiken findet man als
> Koordinatentrafo:
> [mm]w=\frac{1}{3}\cdot x^3 + y[/mm]
> dazu kann man ja entweder
> [mm]z_{1}=y[/mm] oder [mm]z_{2}=x[/mm] wählen.
> Nun ist die Jacobideterminante für [mm]z_{1}[/mm] gleich [mm]x^2[/mm], für
> [mm]z_{2}[/mm] ist sie [mm]-1[/mm].
>
> Ist [mm]z_{1}[/mm] zulässig?
> Das Ergebnis ist beidemale gleich, aber für x=0 wird die
> Jacobi-Determinante zu null, ist die Trafo also nicht zu
> gebrauchen weil sie nicht eindeutig ist?
[mm]z_{1}=y[/mm] ist hier nur für [mm] x \not= 0, \ x \in \IR[/mm] zulässig.
[mm]z_{2}=x[/mm] ist hier für alle [mm] x \in \IR[/mm] zulässig.
Ist die Lösung für alle [mm]x \in \IR[/mm] gesucht,
dann ist [mm]z_{1}=y[/mm] unzulässig.
>
> Vielen Dank für eure Antwort
> Mr._Calculus
Gruss
MathePower
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Danke MathePower für deine Antwort.
Kann ich denn von der Lösung über die Transformation mit [mm] $z_{1}$, $u(x,y,)=c(x^3/3+y)*e^x$ [/mm] durch Einsetzen folgern, dass auch der Fall x=0 korrekt gelöst wurde. Eigentlich doch schon, oder?
Gruß Mr._Calculus
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Hallo Mr._Calculus,
> Danke MathePower für deine Antwort.
>
> Kann ich denn von der Lösung über die Transformation mit
> [mm]z_{1}[/mm], [mm]u(x,y,)=c(x^3/3+y)*e^x[/mm] durch Einsetzen folgern, dass
> auch der Fall x=0 korrekt gelöst wurde. Eigentlich doch
> schon, oder?
Die Lösung für x=0 kann ich nicht nachvollziehen.
>
> Gruß Mr._Calculus
Gruss
MathePower
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