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| Aufgabe | Wir betrachten die Matrix
A= [mm] \pmat{ -1 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 0 & 2 } \in [/mm] Mat (4, [mm] \IC [/mm] ).
a) Geben Sie für jeden verallgemeinerten Eigenraum von A eine Basis an.
b) Bestimmen Sie eine Matrix S, sodass [mm] SAS^{-1} [/mm] eine Matrix in Jordan-Form ist.
c) Berechnen Sie ohne Computer die Matrix [mm] A^{100}. [/mm] |
Hallo!
Ich dachte, dass immer irgendwann beim Potenzieren von A die 0 rauskommen muss, damit man die Jordanform bekommen kann.
Hier kommt aber leider ab [mm] A^{2} [/mm] immer das gleiche und zwar NICHT die 0-Matrix raus!
Kann mir jemand helfen?
Grüßle und schon mal DANKE
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> Wir betrachten die Matrix
> A= [mm]\pmat{ -1 & 2 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & -2 & 0 & -2 \\
-1 & 1 & 0 & 2 } \in[/mm]
> Mat (4, [mm]\IC[/mm] ).
> a) Geben Sie für jeden verallgemeinerten Eigenraum von A
> eine Basis an.
> b) Bestimmen Sie eine Matrix S, sodass [mm]SAS^{-1}[/mm] eine
> Matrix in Jordan-Form ist.
> c) Berechnen Sie ohne Computer die Matrix [mm]A^{100}.[/mm]
> Hallo!
> Ich dachte, dass immer irgendwann beim Potenzieren von A
> die 0 rauskommen muss, damit man die Jordanform bekommen
> kann.
Niemand sagt, dass die Matrix A nilpotent ist. Es gibt einen Satz, der sagt, dass du die Matrix A in einen nilpotenten Teil und einen nichtinvertierbaren Teil zerlegen kannst.
> Hier kommt aber leider ab [mm]A^{2}[/mm] immer das gleiche und zwar
Das hilft dir eventuell für die Eigenwerte. Aber jedenfall löst es c)
> NICHT die 0-Matrix raus!
Wäre sie Nilpotent, so wären alle Eigenwerte zwangsläufig 0. Das sind sie hier jedoch nicht.
> Kann mir jemand helfen?
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