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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 So 01.07.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sei [mm] A\in\IC^{n\times n} [/mm] eine Matrix mit genau einem Eigenwert [mm] \lambda\in\IC.
[/mm]
Geben Sie für $ [mm] 1\le n\le [/mm] 6 $ alle möglichen Jordan-Normalformen für A an. |
Hallo!
Ich komme für n=6 auf 15 verschiedene Normalformen, damit könnte ich allein eine ganze Din A4 Seite füllen.
Ist die Aufgabe reine Schreibarbeit oder übersehe ich irgend einen Haken?
Gruß,
chesn
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> Sei [mm]A\in\IC^{n\times n}[/mm] eine Matrix mit genau einem
> Eigenwert [mm]\lambda\in\IC.[/mm]
>
> Geben Sie für [mm]1\le n\le 6[/mm] alle möglichen
> Jordan-Normalformen für A an.
> Hallo!
>
> Ich komme für n=6 auf 15 verschiedene Normalformen,
Hallo,
ich hab' weniger.
Hast Du bedacht, daß die Reihenfolge der "Kästchen" keine Rolle spielt bzw. üblicherweise von groß nach klein geschrieben wird?
> damit
> könnte ich allein eine ganze Din A4 Seite füllen.
Du mußt nicht jede Matrix hinschreiben, sondern nur sagen, Kästchen welcher Größe vorkommen.
LG Angela
> Ist die Aufgabe reine Schreibarbeit oder übersehe ich
> irgend einen Haken?
>
> Gruß,
> chesn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 So 01.07.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo! Danke für Deine Antwort!
Also reicht es für z.B. n=4 nur die Folgenden JNF aufzuführen: (?)
[mm] \pmat{\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \lambda }, \pmat{\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda }, \pmat{\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \lambda }, \pmat{\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda }, [/mm] $ [mm] \pmat{\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 0 \\ 0&0&0&\lambda} [/mm] $
Da sollte ich aber sicherheitshalber noch sowas wie "bis auf Permutation" dazu schreiben.
Aufgabenteil (b) Wie groß darf n höchstens sein, so dass die JNF schon durch die Kenntnis des Minimalpolynoms [mm] m_A [/mm] eindeutig bestimmt ist?
Dazu: Das Minimalpolynom gibt an, wie groß das größte Jordan-Kästchen der JNF von A ist. Für n=3 ist die JNF noch durch die Größe des größten Kästchens eindeutig bestimmt.
Für n=4 sei aber die Größe des gr. Kästchens 2. Dann gibt es entweder zwei Kästchen der Größe 2 oder zwei Kästchen der Größe 1 und ein Kästchen der Größe 2.
Und noch eine Frage: Wenn ich das Minimalpolynom und die Dimension des Eigenraumes zu [mm] \lambda [/mm] kenne, habe ich die Größe des größten Kästchens und die Anzahl der Kästchen. Damit ist die JNF doch für alle n eindeutig bestimmt, oder?
Vielen Dank und lieben Gruß,
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 So 01.07.2012 | | Autor: | chesn |
Kann nochmal jemand drüber schauen?
Präzisiere nochmal: Hat das Minimalpolynom von A den Grad n, dann ist das größte Jordan-Kästchen der JNF von A eine $ [mm] n\times [/mm] n $-Matrix.
Danke und lieben Gruß,
chesn
Edit: Ganz oben fehlt natürlich noch [mm] \pmat{\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 0 \\ 0&0&0&\lambda}
[/mm]
Und nochmal Edit: Für n=7 stoße ich zum ersten Mal auf zwei verschiedene JNF, bei der das Größte Jordan-Kästchen die Größe 3 hat und die Anzahl der Jordan-Kästchen ebenfalls 3.
D.h. für n=7 ist die JNF nicht mehr eindeutig durch das Minimalpolynom und die Dimension des Eigenraumes bestimmt.
Sehe ich das richtig??
Gruß,
chesn
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> Hallo! Danke für Deine Antwort!
>
> Also reicht es für z.B. n=4 nur die Folgenden JNF
> aufzuführen: (?)
>
> [mm]\pmat{\lambda & 0 & 0 & 0 \\
1 & \lambda & 0 & 0 \\
0 & 1 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & 1 & \lambda }, \pmat{\lambda & 0 & 0 & 0 \\
1 & \lambda & 0 & 0 \\
0 & 1 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & 0 & \lambda }, \pmat{\lambda & 0 & 0 & 0 \\
1 & \lambda & 0 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & 1 & \lambda }, \pmat{\lambda & 0 & 0 & 0 \\
1 & \lambda & 0 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & 0 & \lambda }[/mm]
Hallo,
ja.
>
> Da sollte ich aber sicherheitshalber noch sowas wie "bis
> auf Permutation" dazu schreiben.
Mußt Du nicht - aber wenn es Dich beruhigt, kannst Du's tun.
>
> Aufgabenteil (b) Wie groß darf n höchstens sein, so dass
> die JNF schon durch die Kenntnis des Minimalpolynoms [mm]m_A[/mm]
> eindeutig bestimmt ist?
>
> Dazu: Das Minimalpolynom gibt an, wie groß das größte
> Jordan-Kästchen der JNF von A ist. Für n=3 ist die JNF
> noch durch die Größe des größten Kästchens eindeutig
> bestimmt.
> Für n=4 sei aber die Größe des gr. Kästchens 2. Dann
> gibt es entweder zwei Kästchen der Größe 2 oder zwei
> Kästchen der Größe 1 und ein Kästchen der Größe 2.
Dem kann ich folgen.
>
> Und noch eine Frage: Wenn ich das Minimalpolynom und die
> Dimension des Eigenraumes zu [mm]\lambda[/mm] kenne, habe ich die
> Größe des größten Kästchens und die Anzahl der
> Kästchen. Damit ist die JNF doch für alle n eindeutig
> bestimmt, oder?
Nein.
Sagen wir, wir haben z.B. einen Jordanblock der Größe 8,
wissen, daß die Dimension des Eigenraumes =3 ist, also 3 Kästchen,
und das Minimalpolynom den Grad 4 hat.
Dann können doch die Kästchen die Größe 4,3,1 haben oder auch 4,2,2.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:49 Mi 04.07.2012 | | Autor: | chesn |
Dankeschön! ja ich hatte abends auch noch gemerkt, dass es für n=7 bereits mehrere Möglichkeiten gibt, musste mich bis jetzt aber erstmal mit anderen Aufgaben beschäftigen.
Vielen Dank nochmal und lieben Gruß,
chesn
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