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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Di 29.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei f in [mm] $End_{\IR}(\IR\left[t\right]_{2})$ [/mm] durch die Ableitung [mm] $f(v)=\frac{dv}{dt}$ [/mm] definiert.
a) Berechne das charakteristische Polynom [mm] $P_{f}$
[/mm]
b) zeige, dass f nicht diagonalisierbar ist.
c) Berechne die Jordan Matrix J von f |
Hallo,
Die Basis von [mm] $\IR\left[t\right]_{2}: (1),(x),(x^{2})$
[/mm]
Die abgebildete Basis : $(0),(1),(2x)$
Die Abbildungsmatrix: [mm] $\Psi_{B}=\vektor{0&1&0\\0&0&2 \\ 0&0&0}$
[/mm]
a) [mm] $P_{f}=det(Psi_{B}-tE)=-t^{3}$
[/mm]
b) es gibt nur ein Element des Eigenraums: [mm] $\vektor{1\\0\\0}$ [/mm]
Das bildet keine Basis der Abbildungsmatrix also ist f nicht diagonalisierbar.
c) [mm] $P_{f}= -t^{3}$ [/mm] besitzt genau einen Eigenwert und das ist $0$
Die Eigenvektoren besitzen die Dimension 1 also nur ein Jordankasten.
[mm] -A^{3}= [/mm] 0 besitzt also Rang 0 .
Ich habe für den Eigenwert 0 die algebraische Vielfachheit 3 und die geometrische Vielfachheit 1.
Jetzt kann ich doch in die Matrix einsetzen, in die Hauptdiagonale die 3 Eigenwerte und nur ein Jordankasten mit 1:
[mm] $\vektor{0&1&0\\ 0&0&1 \\ 0&0&0}$ [/mm]
Das stimmt aber nicht...... wie mache ich das richtig?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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> Sei f in [mm]End_{\IR}(\IR\left[t\right]_{2})[/mm] durch die
> Ableitung [mm]f(v)=\frac{dv}{dt}[/mm] definiert.
>
> a) Berechne das charakteristische Polynom [mm]P_{f}[/mm]
>
> b) zeige, dass f nicht diagonalisierbar ist.
>
> c) Berechne die Jordan Matrix J von f
> [mm]\vektor{0&1&0\\
0&0&1 \\
0&0&0}[/mm]
>
> Das stimmt aber nicht...... wie mache ich das richtig?
Hallo,
wer sagt denn, daß Deine JNF nicht stimmt?
Sie stimmt doch.
Was nicht ganz richtig ist, sind einige Deiner Begründungen - welche aber immerhin irgendwie einen wahren Kern haben.
> Die Basis von [mm] $\IR\left[t\right]_{2}: (1),(x),(x^{2})$
[/mm]
Das ist nicht die Basis des [mm] \IR[/mm] [t]_{2}, sondern eine Basis dieses Raumes.
Die Schreibweise mit den Klammern ist komisch.
Ich würde schreiben: eine Basis des [mm] \IR[/mm] [t]_2 ist [mm] B=(1,x,x^2).
[/mm]
>
> Die abgebildete Basis : $(0),(1),(2x)$
Auch komisch.
Schreib: es ist f(1)=0, f(x)=1, [mm] f(x^2)=2x
[/mm]
> Die Abbildungsmatrix
von f bzgl. der Basis B ist
> [mm] $\Psi_{B}=\vektor{0&1&0\\0&0&2 \\ 0&0&0}$
[/mm]
>
>
> a) [mm] $P_{f}=det(Psi_{B}-tE)=-t^{3}$
[/mm]
Ja.
>
> b)
Das charakteristische Polynom hat nur eine Nullstelle, nämlich t=0. Also ist t=0 der einzige Eigenwert von f.
> es gibt nur ein Element des Eigenraums: [mm] $\vektor{1\\0\\0}$
[/mm]
Das ist falsch! Der Eigenraum enthält sehr viele Elemente.
Du wolltest etwas anderes sagen:
Der Eigenraum zum Eigenwert 0 hat die Dimension 1.
[mm] \vektor{1\\0\\0}_{(B)}=1 [/mm] ist eine Basis des Eigenraumes von f zum Eigenwert 0.
(Alle Vielfachen dieses Vektors sind ebenfalls Eigenvektoren von f zum Eigenwert 0.)
> Das bildet keine Basis der Abbildungsmatrix
Es gibt keine Basis des [mm] \IR^3, [/mm] welche aus Eigenvektoren der Abbildungsmatrix besteh,t
oder
Es gibt keine Basis des [mm] \IR[/mm] [t]_2, welche aus Eigenvektoren von f besteht,
> also ist f
> nicht diagonalisierbar.
Genau.
>
>
> c) [mm] $P_{f}= -t^{3}$ [/mm] besitzt genau einen Eigenwert und das ist
> $0$
Ja.
Und das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren, also gibt es eine JNF.
>
> Die Eigenvektoren besitzen die Dimension 1
Vektoren haben keine Dimension.
Der Eigenraum hat die Dimension 1,
> also nur ein
> Jordankasten.
im Jordanblock zum Eigenwert 0.
Eigentlich wärest Du hier schon fertig:
da es eine JNF gibt und 0 der einzige Eigenwert ist, muß der Jordanblock zum Eigenwert 0 eine [mm] 3\times [/mm] 3-Matrix sein, und wenn dieser Block nur ein Kästchen enthält, muß er so aussehen, wie Du unten schreibst.
>
> [mm] $-A^{3}=$ [/mm] 0 besitzt also Rang 0 .
Ich glaube, daß Du hier etwas völlig anderes meinst.
Das charakteristische Polynom ist ja [mm] P(t)=-t^3.
[/mm]
(Nach Hamilton- Cayley ist [mm] P(A)=-A^3=0, [/mm] was hier aber für sich genommen weniger interessiert.)
Das Minimalpolynom m(t) teilt das charakteristische Polynom.
Also kommen fürs Minimalpolynom nur infrage t, [mm] t^2 [/mm] oder [mm] t^3.
[/mm]
Man stellt fest [mm] A\not=0, A^2\not=0, A^3=0.
[/mm]
Also ist [mm] m(t)=t^3 [/mm] das Minimalpolynom.
Daraus weiß man, daß das längst Kästchen zum Eigenwert 0 ein [mm] 3\times [/mm] 3-Kästchen ist - was aber vorher eigentlich schon klar war.
>
> Ich habe für den Eigenwert 0 die algebraische Vielfachheit
> 3 und die geometrische Vielfachheit 1.
Das stimmt.
Also hat der Jordanblock die Länge 3 und besteht nur aus einem Kasten.
Das Minimalpolynomgedönsvon oben brauchst Du hier gar nicht.
>
> Jetzt kann ich doch in die Matrix einsetzen, in die
> Hauptdiagonale die 3 Eigenwerte und nur ein Jordankasten
> mit 1:
>
> [mm] $\vektor{0&1&0\\ 0&0&1 \\ 0&0&0}$
[/mm]
Ja
>
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 30.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> Korrektur
Danke!!!
> GruB
Gruss
kushkush
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