Jordan Normal-Form berechnen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 So 06.09.2009 | | Autor: | DarkCell |
| Aufgabe 1 | Es sei W die durch
W: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} \mapsto \vektor{1 \\ 0 \\ -1},
[/mm]
W: [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \mapsto \vektor{0 \\ 2 \\ 0},
[/mm]
W: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} \mapsto \vektor{1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
definierte lineare Abbildung und W die (bezüglich der Standardbasen in Bild- und Urbildraum) zugehörige Matrix. Bewerten sie dazu folgende Aussagen:
(3) Die Jordannormalform J von W ist [mm] J=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Bewerten Sie die folgende Aussage:
Die Jordan-Normalform von [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0} [/mm] ist [mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] |
Könnte mir jmd vllt nochmal kurz erklären wie man die Jordan-Normalform berechnet? Und brauche ich die berechnung überhaupt um zu sagen, dass diese Aussage wahr oder falsch ist?
Also die Matrix W müsste so aussehen [mm] W=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 0}
[/mm]
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Hallo
> Es sei W die durch
> W: [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1} \mapsto \vektor{1 \\ 0 \\ -1},[/mm]
>
> W: [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0} \mapsto \vektor{0 \\ 2 \\ 0},[/mm]
> W:
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1} \mapsto \vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm]
>
> definierte lineare Abbildung und W die (bezüglich der
> Standardbasen in Bild- und Urbildraum) zugehörige Matrix.
> Bewerten sie dazu folgende Aussagen:
> (3) Die Jordannormalform J von W ist [mm]J=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
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> Könnte mir jmd vllt nochmal kurz erklären wie man die
> Jordan-Normalform berechnet? Und brauche ich die berechnung
> überhaupt um zu sagen, dass diese Aussage wahr oder falsch
> ist?
>
> Also die Matrix W müsste so aussehen [mm]W=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 0}[/mm]
>
Gut, ich gehe von deiner W-Matrix aus.
Um die Jordan-Normalform zu bekommen, brauchen wir eigentlich 3 Zutaten:
i) Eigenwerte
ii) dim [mm] ker(A-\lambda [/mm] E)
iii) p := min{d [mm] \in \IN: [/mm] ker(A - [mm] \lambda E)^{d} [/mm] = ker(A - [mm] \lambda E)^{d+1}}
[/mm]
Also, nehmen wir dein W. Die Eigenwerte sind schnell berechnet und wären:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 1
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 2
[mm] \lambda_{3} [/mm] = 0
Oh.. jetzt merken wir.. verdammt, in der vorgegebenen Jordan-Normalform gibt es kein Kästchen zum Eigenwert 0! Es gibt 2 Möglichkeiten:
1) Du hast einen Fehler bei der Berechnung von W gemacht oder
2) Die Aussage ist falsch, was du mit den Eigenwerten begründen kannst. :)
Grüsse, Amaro
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