Jordan/Weyr'sche Char. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
schreibe in 23 Stunden und 15 Minunten meine Matheklausur und habe noch ein schwerwiegendes Probem. Vielleicht kann mir von euch jemand BITTE dabei helfen. Tausenddank schon mal im Voraus.
Wie bestimme ich die Jordansche Normalform über die Weyr'schen Charakteristiken? Was sind eigentlich die Weyr'schen Charakteristiken? Wie kann ich mit der Jordanschen Normalform die [mm] S^{-1} [/mm] und S Matrizen in der Gleichung B = [mm] S^{-1} [/mm] * A * S bestimmen.
MfG
Martin
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Hallo!
"Weyr'sche Charakteristik" sagt mir ehrlich gesagt gar nichts - nie gehört, da kann ich leider nicht weiterhelfen. Aber zu dem anderen Thema:
Zunächst bestimmst Du das char. Polynom der gegebenen Matrix und seine Nullstellen. Damit hast Du die Eigenwerte [mm] $\lambda_1, \ldots, \lambda_r$. [/mm] Nun betrachtest Du die Matrizen $B - [mm] \lambda_i E_n$, [/mm] wobei [mm] $\lambda_i$ [/mm] der i-te Eigenwert und [mm] $E_n$ [/mm] die Einheitsmatrix ist. Diese Matrizen haben nach Definition Determinante 0, also existiert ein nicht trivialer Kern (=Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems), den Du bestimmst (Basis angeben). Als nächstes betrachtest Du $(B - [mm] \lambda_i E_n)^2$ [/mm] und bestimmst davon den Kern. Und so weiter.
Damit erhältst Du eine Gliederung der Haupträume in aufsteigende Untervektorräume, von denen jeder in den darunterliegenden abgebildet wird. Daraus mußt Du eine Basis für jeden Hauptraum basteln, die den Bedingungen für die Jordan-Form genügt. Ein Beispiel hat Julius in einem der anderen Posts gegeben.
Sei beruhigt: in der Praxis (=Klausur) wird das nicht lange dauern, da kaum ein Hauptraum mehr als 3-dimensional sein wird - einfach zuviel Aufwand. Dadurch sind die beteiligten Räume nicht so wild. Wenn Du z.B. herausbekommst, dass der Kern von $B - [mm] \lambda_i E_n$ [/mm] Dimension 1 hat und der Kern von $(B - [mm] \lamvda_i E_n)^2$ [/mm] Dimension 2 und danach nichts mehr kommt, bestimmst Du einen Vektor in dem größeren Raum, der nicht in dem kleineren liegt. Der und dessen Bild (unter $B - [mm] \lambda_i E_n$)sind [/mm] dann die gesuchte Basis.
Naja und das $S$ ist schlicht die Matrix des Basiswechsels, also diejenige Matrix, welche die neuen Basisvektoren als Spalten hat.
Lars
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo zusammen!
Ist $a$ die algebraische und $g$ die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes, so erhält man immer eine kanonische Zerlegung
[mm] $g=n_1 [/mm] < [mm] n_2 [/mm] < [mm] \ldots [/mm] < [mm] n_b [/mm] = [mm] n_a=a$
[/mm]
der Dimensionen der verallgemeinerten Eigenräume
(d.h. irgendwann wird die Folge stationär, spätestens bei [mm] $n_a=a$).
[/mm]
Die Zahlen
[mm] $\mu_1 [/mm] = [mm] n_1 \ge \ldots \ge \mu_b$
[/mm]
mit
[mm] $\mu_h [/mm] = [mm] n_h [/mm] - [mm] n_{h-1}$
[/mm]
für [mm] $h=2,\ldots,b$ [/mm] (mit [mm] $\mu_1:=n_1$) [/mm] heißen die Weyr'sche Charakteristik des Eigenwertes.
Anhand der Weyr'schen Charakteristiken kann man die Gestalt der Jordanschen Normalform eindeutig bestimmen.
Liebe Grüße
Stefan
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