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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Jordan'sche Normalform der Matrix
[mm]\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 3 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
1 & -4 & 2 & 2 & 4 & 0 \\
0 & 2 & -1 & -1 & -1 & 2 \\
\end{pmatrix}[/mm] |
Hallo!
Ich bin mir nicht sicher, ob ich verstanden habe wie man die Jordan'sche Normalform bestimmt - denn ich hänge leider fest. Vielleicht kann mir jemand sagen wo der Fehler liegt. Also:
Ich habe zuerst das charakteristische Polynom bestimmt, und komme auf [mm]P=(2-\lambda_1)^5*(3-\lambda_2)[/mm]. Also sind die Eigenwerte: [mm]\lambda_1=2[/mm] mit algebraischer Vielfachheit 5 und [mm]\lambda_2=3[/mm] mit algebraischer Vielfachheit 1.
=> Der Jordanblocks zum Eigenwert 2 hat die Größe 5x5, und der zum Eigenwert 3 hat die Größe 1x1.
Nun habe ich die Dimension der jeweiligen Eigenräume bestimmt, und es ist [mm]dim(ker(A-2*I_6))=2[/mm] und [mm]dim(ker(A-3*I_6))=1[/mm]. Also enthält der Jordanblock zum Eigenwert 2 genau 2 Kästchen, der zum Eigenwert 3 - logischerweise - ein Kästchen.
Dann habe ich die Dimension des Hauptraumes zum Eigenwert 2 berechnet. Da [mm]dim(ker(A-2*I_6)^2))=dim(ker(A-2*I_6)^3))=dim(ker(A-2*I_6)^4))=dim(ker(A-2*I_6)^5))=5[/mm] ist also schon [mm]ker(A-2*I_6)^2[/mm] der Hauptraum. Da dies die 2-te Potenz des Eigenraums ist, hat das größte Kästchen innerhalb des Jordanblocks zum Eigenwert 2 die Größe 2x2.
Und hier liegt das Problem: Wenn der Block zu 2 die Größe 5x5 hat, aus zwei Kästchen besteht und das GRÖßTE Kästchen die Größe 2x2 hat, dann stimmt hier wohl was nicht.
Ich hab sowohl das charakteristische Polynom, als auch die jeweiligen Dimensionen mehrmals nachgerechnet und komme immer auf dasselbe Ergebnis.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand sagen könnte wo ich einen Fehler gemacht habe.
Vielen lieben Dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforen gestellt.
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Hallo couldbeworse,
> Bestimmen Sie die Jordan'sche Normalform der Matrix
> [mm]\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 3 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
1 & -4 & 2 & 2 & 4 & 0 \\
0 & 2 & -1 & -1 & -1 & 2 \\
\end{pmatrix}[/mm]
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> Hallo!
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> Ich bin mir nicht sicher, ob ich verstanden habe wie man
> die Jordan'sche Normalform bestimmt - denn ich hänge
> leider fest. Vielleicht kann mir jemand sagen wo der Fehler
> liegt. Also:
>
> Ich habe zuerst das charakteristische Polynom bestimmt, und
> komme auf [mm]P=(2-\lambda_1)^5*(3-\lambda_2)[/mm]. Also sind die
> Eigenwerte: [mm]\lambda_1=2[/mm] mit algebraischer Vielfachheit 5
> und [mm]\lambda_2=3[/mm] mit algebraischer Vielfachheit 1.
>
> => Der Jordanblocks zum Eigenwert 2 hat die Größe 5x5,
> und der zum Eigenwert 3 hat die Größe 1x1.
>
> Nun habe ich die Dimension der jeweiligen Eigenräume
> bestimmt, und es ist [mm]dim(ker(A-2*I_6))=2[/mm] und
> [mm]dim(ker(A-3*I_6))=1[/mm]. Also enthält der Jordanblock zum
> Eigenwert 2 genau 2 Kästchen, der zum Eigenwert 3 -
> logischerweise - ein Kästchen.
>
> Dann habe ich die Dimension des Hauptraumes zum Eigenwert 2
> berechnet. Da
> [mm]dim(ker(A-2*I_6)^2))=dim(ker(A-2*I_6)^3))=dim(ker(A-2*I_6)^4))=dim(ker(A-2*I_6)^5))=5[/mm]
> ist also schon [mm]ker(A-2*I_6)^2[/mm] der Hauptraum. Da dies die
> 2-te Potenz des Eigenraums ist, hat das größte Kästchen
> innerhalb des Jordanblocks zum Eigenwert 2 die Größe
> 2x2.
> Und hier liegt das Problem: Wenn der Block zu 2 die
> Größe 5x5 hat, aus zwei Kästchen besteht und das
> GRÖßTE Kästchen die Größe 2x2 hat, dann stimmt hier
> wohl was nicht.
In der Tat stimmt hier was nicht.
Es ergibt hier: [mm]dim(ker(A-2*I_6))=\red{3}[/mm]
>
> Ich hab sowohl das charakteristische Polynom, als auch die
> jeweiligen Dimensionen mehrmals nachgerechnet und komme
> immer auf dasselbe Ergebnis.
>
> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand sagen könnte
> wo ich einen Fehler gemacht habe.
>
> Vielen lieben Dank schonmal!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforen
> gestellt.
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
Schön peinlich! Da hab ich tatsächlich 4-mal 1 und 2 nicht zusammenzählen können - vielen Dank!
Schöne Grüße
couldbeworse
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