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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Di 01.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich muss mal ein paar Fragen loswerden, die mich schon den ganzen Tag beschäftigen.
So, da wäre zum einen die Definition einer Jordankurve:
Eine einfache Jordankurve ist das Bild einer stetigen injektiven Abbildung [mm] $\phi [/mm] : [0,1] [mm] \to \IR^2$, [/mm] ihre Endpunkte sind [mm] \phi(0) [/mm] und [mm] \phi(1) [/mm]
So, dazu hab ich schonmal eine Frage: Warum ist das zweite Bild hier bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia (das Bild selbst funktioniert leider nicht) eine Jordankurve? Das ist doch gar keine Abbildung, weil da einem x-Wert mehrere y-Werte zugeordnet werden (wenn die untere Bildkante die x-Achse und die linke Bildkante die y-Achse ist)...
Und das mit der Injektivität: Ich vermute, dass das damit zusammenhängt, dass sich die Kurve nicht kreuzen darf (wenn ich sie in die Ebene zeichne), aber das ist doch nicht mit injektiv ausgeschlossen, oder? Weil Injektivität heißt doch, dass zwei verschiedene Werte nicht auf den gleichen Punkt abgebildet werden dürfen, aber wenn sich das Ding schneiden würde, dann hätte ich ja was anderes, nämlich, dass ein Punkt zweimal auftritt...
Oder mache ich hier gerade einen Denkfehler? Darf ich das nicht mit x- und y-Achsen betrachten (aber muss ich ja eigentlich, weil es geht ja darum, Dinge in die Ebene zu zeichen...)?
So, und dann kommt direkt die nächste Definition dazu:
Ein polygonaler Streckenzug ist eine einfache Jordankurve, die aus der Vereinigung endlich vieler Intervalle (geradliniger Segmente) besteht.
Ähm ja, die Definition verstehe ich nicht. Ich weiß auch nicht genau, worauf sich das geradliniger Segmente bezieht, auf die Jordankurve oder auf die Intervalle?
Unser Prof hat dazu ein Bild an die Tafel gemalt, als Jordankurve eine geschwungene Linie und als polygonalen Streckenzug eine Aneinanderreihung kurzer geradliniger Stücke.
Aber das verstehe ich nicht. Was bedeutet es überhaupt, endlich viele Intervalle zu vereinigen? Vereinige ich wirklich nur die Intervalle, also $[0,1] [mm] \cup [/mm] [0,2] [mm] \cup [/mm] [0,3] [mm] \cup...$ [/mm] (was ja dann am Ende die x-Achse ergäbe) oder vereinige ich die Jordankurven über diesen Intervallen? Aber dann verstehe ich nicht, warum es geradlinige Segmente werden, weil wenn ich Jordankurven vereininge müsste das doch wieder eine Jordankurve ergeben, und die ist ja geschwungen...
Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?
Vielen Dank.
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
> Jordankurve:
>
> Eine einfache Jordankurve ist das Bild einer stetigen
> injektiven Abbildung [mm]\phi : [0,1] \to \IR^2[/mm], ihre Endpunkte
> sind [mm]\phi(0)[/mm] und [mm]\phi(1)[/mm]
Statt gerade [0 .... 1] könnte man wohl auch ein beliebiges
abgeschlossenes Intervall [a .... b] nehmen.
> So, dazu hab ich schonmal eine Frage: Warum ist das zweite
> Bild hier bei Wikipedia
> (das Bild selbst funktioniert leider nicht) eine
> Jordankurve? Das ist doch gar keine Abbildung, weil da
> einem x-Wert mehrere y-Werte zugeordnet werden (wenn die
> untere Bildkante die x-Achse und die linke Bildkante die
> y-Achse ist)...
Du musst beachten, dass es sich bei einer solchen
Abbildung nicht um eine Funktion [mm] x\mapsto{y} [/mm] handelt, die
man in der von der Schule her gewohnten Weise durch einen
Funktionsgraph der Form y=f(x) beschreibt, sondern um
eine Abbildung [mm] t\mapsto(x(t)/y(t)), [/mm] welche jeder Zahl [mm] t\in[a....b] [/mm] einen
Punkt [mm] (x(t)/y(t))\in\IR^2 [/mm] zuordnet.
> Und das mit der Injektivität: Ich vermute, dass das damit
> zusammenhängt, dass sich die Kurve nicht kreuzen darf
> (wenn ich sie in die Ebene zeichne), aber das ist doch
> nicht mit injektiv ausgeschlossen, oder? Weil Injektivität
> heißt doch, dass zwei verschiedene Werte nicht auf den
> gleichen Punkt abgebildet werden dürfen, aber wenn sich
> das Ding schneiden würde, dann hätte ich ja was anderes,
> nämlich, dass ein Punkt zweimal auftritt...
Na eben, der Kreuzungspunkt S wäre dann gleichzeitig
Bildpunkt von zwei verschiedenen t-Werten, und dies
widerspräche der Injektivität der Abbildung.
> Oder mache ich hier gerade einen Denkfehler? Darf ich das
> nicht mit x- und y-Achsen betrachten (aber muss ich ja
> eigentlich, weil es geht ja darum, Dinge in die Ebene zu
> zeichen...)?
Die x- und y- Achsen braucht man als Koordinatenachsen in
der Bildebene. Zusätzlich haben wir noch die t-Achse, welche
die Urbildwerte [mm] t\in[a....b] [/mm] enthält.
>
> So, und dann kommt direkt die nächste Definition dazu:
>
> Ein polygonaler Streckenzug ist eine einfache Jordankurve,
> die aus der Vereinigung endlich vieler Intervalle
> (geradliniger Segmente) besteht.
Möglicherweise ist dies nicht ganz klar ausgedrückt.
Zuerst mal simpel gesagt: man hat einen Strecken-
zug, in dem endlich viele geradlinige Strecken in der
x-y-Ebene aneinandergereiht sind. Modell: das faltbare
Stab-Metermaß des Handwerkers.
Um eine solche Zickzacklinie aus n Teilstrecken zu
beschreiben, könnte man [mm] t_k=k [/mm] setzen für [mm] k\in\{0,1,2,.....,n\}
[/mm]
und dann die n linearen Funktionen [mm] f_k:[k-1....k]\to \IR^2
[/mm]
aufstellen, von welchen jede einzelne eines der Teil-
stücke der Kurve beschreibt.
Die Vereinigung aller t-Intervalle (auf der t-Achse)
ergibt den gesamten Definitionsbereich [0.....n] .
Die Vereinigung aller Teilstrecken in der x-y-Ebene
ergibt die Jordan(Zickzack-)kurve.
> Unser Prof hat dazu ein Bild an die Tafel gemalt, als
> Jordankurve eine geschwungene Linie und als polygonalen
> Streckenzug eine Aneinanderreihung kurzer geradliniger
> Stücke.
>
> .........
> verstehe ich nicht, warum es geradlinige Segmente werden,
> weil wenn ich Jordankurven vereinige müsste das doch
> wieder eine Jordankurve ergeben, und die ist ja
> geschwungen...
In der Definition der Jordankurve steht kein Wort
davon, dass eine solche Kurve "geschwungen" sein soll !
Eine ganz simple geradlinige Strecke in der x-y-Ebene
ist auch schon eine (allerdings recht einfache) Jordankurve.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") Al-Chwarizmi
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