Jordansche Normalform < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Sa 21.06.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Berechnen Sie eine Jordansche Normalform der folgenden Matrix:
[mm] $A=\begin{pmatrix} 0&-1&-1\\0&2&-1\\1&1&2\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{3\times 3}$ [/mm] |
Hi,
ich habe eine Frage zu der Berechnung der Jordanschen Normalform.
Also zu erst benötige ich ja die Eigenwerte der Matrix.
Als charakteristisches Polynom erhalte ich:
[mm] $\chi_A(\lambda)=-\lambda^3+4\lambda^2-6\lambda+3$
[/mm]
Als Eigenwerte erhalte ich
[mm] $\lambda_1=1$
[/mm]
[mm] $\lambda_2=\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$
[/mm]
[mm] $\lambda_3=\frac{3}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$
[/mm]
Also komplexe. Ich hoffe ich habe mich beim charakteristischem Polynom nicht verrechnet.
Wie geht es nun weiter?
Vielen Dank im voraus.
mfg
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Hallo,
> Berechnen Sie eine Jordansche Normalform der folgenden
> Matrix:
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> [mm]A=\begin{pmatrix} 0&-1&-1\\0&2&-1\\1&1&2\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{3\times 3}[/mm]
>
> Hi,
>
> ich habe eine Frage zu der Berechnung der Jordanschen
> Normalform.
> Also zu erst benötige ich ja die Eigenwerte der Matrix.
> Als charakteristisches Polynom erhalte ich:
>
> [mm]\chi_A(\lambda)=-\lambda^3+4\lambda^2-6\lambda+3[/mm]
Das stimmt.
>
> Als Eigenwerte erhalte ich
>
> [mm]\lambda_1=1[/mm]
>
> [mm]\lambda_2=\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}[/mm]
>
> [mm]\lambda_3=\frac{3}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}[/mm]
>
> Also komplexe. Ich hoffe ich habe mich beim
> charakteristischem Polynom nicht verrechnet.
Nein hast du nicht, auch deine Eigenwerte sind richtig.
>
> Wie geht es nun weiter?
>
> Vielen Dank im voraus.
>
> mfg
Du weißt (nehme ich an) wie eine JNF aussehen soll? Was weißt du über die algebraische Vielfachheit deiner Nullstellen?
Gruß Thomas
Ps: Willst du eine komplexe oder reelle JNF bestimmen?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Sa 21.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, die Jordan Normalform ist eine 3x3 Matrix die nur Einträge auf der Diagonalen hat und sonst überall Nullen.
Die algebraische Vielfachheit meiner Nullstellen ist jeweils 1.
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> Ja, die Jordan Normalform ist eine 3x3 Matrix die nur
> Einträge auf der Diagonalen hat und sonst überall
> Nullen.
> Die algebraische Vielfachheit meiner Nullstellen ist
> jeweils 1.
Das ist nicht exakt. Sie hat als Diagonaleinträge die entsprechenden Eigenwerte - diese haben bei dir alle Vielfachheit 1(Somit haben alle Jordanblöcke die Größe 1) - also du kannst eine komplexe JNF sofort anschreiben.
Gruß Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Sa 21.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann ist meine Jordan Normalform also einfach:
[mm] $J=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}&0\\0&0&\frac{3}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}$
[/mm]
?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Sa 21.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Und wenn die algebraische Vielfachheit nicht 1 ist, dann muss ich doch irgendwas mit dem Minimalpolynom machen, oder?
Könntest du auch noch einmal anreißen wofür die Jordan Normalform so wichtig ist, und was man alles mit ihr anstellen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Sa 21.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Und wenn die algebraische Vielfachheit nicht 1 ist, dann
> muss ich doch irgendwas mit dem Minimalpolynom machen,
> oder?
>
> Könntest du auch noch einmal anreißen wofür die Jordan
> Normalform so wichtig ist, und was man alles mit ihr
> anstellen kann?
Schau da mal rein
http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Sa 21.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Danke für den Link.
Heißt das, dass wenn ich die Jordan Normalform bestimme und ich erhalte, dass die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte alle 1 ist, dann bin ich direkt fertig. Wenn jedoch die algebraische Vielfachheit nicht immer 1 ist muss ich noch weiterrechnen?
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> Danke für den Link.
>
> Heißt das, dass wenn ich die Jordan Normalform bestimme
> und ich erhalte, dass die algebraische Vielfachheit der
> Eigenwerte alle 1 ist, dann bin ich direkt fertig. Wenn
> jedoch die algebraische Vielfachheit nicht immer 1 ist muss
> ich noch weiterrechnen?
Hallo,
ja, wenn Du eine [mm] n\times [/mm] n-Marix hast mit n verschiedenen Eigenwerten, die dann die Vielfachheit 1 haben, dann weißt Du, daß die JNF eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen ist.
Andernfalls mußt Du weiterrechnen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 So 22.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, und die "Reihenfolge" wie ich die Eigenwerte am Ende auf die Diagonale verteile ist egal. Gehe ich mal von aus.
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> Okay, und die "Reihenfolge" wie ich die Eigenwerte am Ende
> auf die Diagonale verteile ist egal. Gehe ich mal von aus.
Hallo,
ja, im Prinzip ist das egal.
LG Angela
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