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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Mi 02.12.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Sei [mm] \alpha: \IQ^3 \to \IQ^3 [/mm] gegeben durch:
[mm] \alpha\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \pmat{ 5 & 0 & 9 \\ -2 & 2 & -6 \\ -1 & 0 & -1 }\vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
b) Bestimmen Sie die Jordanbasis B |
Hallo,
Hab hier große Probleme mal einen Ansatz zu finden, also die Darstellungsmatrix in Jordanscher Normalform hab ich ausgerechnet, die wäre [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }, [/mm] aber wie gehe ich nun bei der Basis vor? In der Vorlesung haben wir die Jordanbasis nur für nilpotente Matrizen berechnet, aber sowie ich es sehe ist diese obige Matrix nicht nilpotent.
Ich hoffe irgendwer kann mi weiterhelfen, vielen Dank schon mal im voraus.
Viele Grüße
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> Sei [mm]\alpha: \IQ^3 \to \IQ^3[/mm] gegeben durch:
> [mm]\alpha\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] = [mm]\pmat{ 5 & 0 & 9 \\ -2 & 2 & -6 \\ -1 & 0 & -1 }\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
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> b) Bestimmen Sie die Jordanbasis B
> Hallo,
> Hab hier große Probleme mal einen Ansatz zu finden, also
> die Darstellungsmatrix in Jordanscher Normalform hab ich
> ausgerechnet, die wäre [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 },[/mm]
> aber wie gehe ich nun bei der Basis vor? In der Vorlesung
> haben wir die Jordanbasis nur für nilpotente Matrizen
> berechnet, aber sowie ich es sehe ist diese obige Matrix
> nicht nilpotent.
Hallo,
Du siehst an deiner JNF, daß zu Deiner Jordanbasis auf jeden Fall zwei linear unabhängige Eigenvektoren gehören.
Hast Du die schon ausgerechnet?
Dieses ![[]](/images/popup.gif) JNF-Kochrezept ist sehr empfehlenswert, darin findest Du, wie's geht.
Ist besser, als wenn ich was schreibe.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Mi 02.12.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Danke schon mal soweit,
aber ich komme obwohl ich alles so berechnet hab, nicht auf die richtige Jordanbasis:
Also ich weiß, 2 ist EW von unserer vorgegebenen Matrix, nun hab ich zunächst mal Kern (A - [mm] 2E_{3}) [/mm] berechnet das war dann: lin [mm] \{ \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{3 \\ 0 \\ -1}\}
[/mm]
und Kern (A - [mm] 2E_{3})^2 [/mm] = [mm] \IQ^3.
[/mm]
Also hab ich [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] als Basisvektor gewählt und für (A - [mm] 2E_{3})*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} =\vektor{3 \\ -2 \\ -1} [/mm] als 2. Basisvektor erhalten. Als 3. Basisvektor hab ich nun [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] gewählt, somit kam ich auf S= [mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 0} [/mm] und folglich hieraus somit auf [mm] S^{-1}= \pmat{ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2}.
[/mm]
Berechne ich aber nun [mm] S^{-1}AS [/mm] so komme ich auf: [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2}. [/mm] Ich hab ja aber berechnet, dass die Darstellungsmatrix der JNF: [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2}.
[/mm]
Könnte es sein, dss der Autor dieses "Kochrezepts" die untere Diagonale als Nebendiagonale ansieht?
Wie berechne ich dann aber die Jordanbasis für meine Jordansche Normalform?
Kann mir bitte jemand sagen, worin mein Fehler liegt.
Viele Grüße
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Hallo ms2008de,
> Hallo,
> Danke schon mal soweit,
> aber ich komme obwohl ich alles so berechnet hab, nicht
> auf die richtige Jordanbasis:
> Also ich weiß, 2 ist EW von unserer vorgegebenen Matrix,
> nun hab ich zunächst mal Kern (A - [mm]2E_{3})[/mm] berechnet das
> war dann: lin [mm]\{ \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{3 \\ 0 \\ -1}\}[/mm]
>
> und Kern (A - [mm]2E_{3})^2[/mm] = [mm]\IQ^3.[/mm]
> Also hab ich [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] als Basisvektor gewählt
> und für (A - [mm]2E_{3})*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} =\vektor{3 \\ -2 \\ -1}[/mm]
> als 2. Basisvektor erhalten. Als 3. Basisvektor hab ich nun
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] gewählt, somit kam ich auf S= [mm]\pmat{ 1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 0}[/mm]
> und folglich hieraus somit auf [mm]S^{-1}= \pmat{ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2}.[/mm]
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> Berechne ich aber nun [mm]S^{-1}AS[/mm] so komme ich auf: [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2}.[/mm]
> Ich hab ja aber berechnet, dass die Darstellungsmatrix der
> JNF: [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2}.[/mm]
> Könnte
> es sein, dss der Autor dieses "Kochrezepts" die untere
> Diagonale als Nebendiagonale ansieht?
> Wie berechne ich dann aber die Jordanbasis für meine
> Jordansche Normalform?
> Kann mir bitte jemand sagen, worin mein Fehler liegt.
>
Wie die Jordansche Normalform aussieht, kommt letztendlich darauf an,
wie die Basisvektoren in der Matrix S angeordnet sind.
Unzweifelhaft ist, daß der 1. und 2. Basisvektor zusammengehören.
Daher gibt es folgende Möglichkeiten, die Matrix S aufzubauen:
[mm]S=\pmat{\operatorname{1.\ Basisvektor} & \operatorname{2.\ Basisvektor} & \operatorname{3.\ Basisvektor}}[/mm]
[mm]S=\pmat{\operatorname{2.\ Basisvektor} & \operatorname{1.\ Basisvektor} & \operatorname{3.\ Basisvektor}}[/mm]
[mm]S=\pmat{\operatorname{3.\ Basisvektor} & \operatorname{1.\ Basisvektor} & \operatorname{2.\ Basisvektor}}[/mm]
[mm]S=\pmat{\operatorname{3.\ Basisvektor} & \operatorname{2.\ Basisvektor} & \operatorname{1.\ Basisvektor}}[/mm]
>
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
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> Könnte
> es sein, dss der Autor dieses "Kochrezepts" die untere
> Diagonale als Nebendiagonale ansieht?
> Wie berechne ich dann aber die Jordanbasis für meine
> Jordansche Normalform?
Hallo,
ich vergaß daraufhinzuweisen: in dem Rezept hängen die Einsen tatsächlich unter der Hauptdiagonalen.
Du mußt die Reihenfolge von [mm] v_i [/mm] , (A − c · I) · [mm] v_i [/mm] , (A − c · I)2 · [mm] v_i [/mm] , . . . , für jedes i genau umdrehen,
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Do 03.12.2009 | | Autor: | ms2008de |
Dankeschön nochmal dafür, habs hinbekommen
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