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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Jordansche Normalform
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Jordansche Normalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:45 So 26.09.2010
Autor: m0ppel

Aufgabe
Gegeben sei die Matrix A [mm] \pmat{ 3 & 4 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 } [/mm] mit dem charakteristischen Polynom [mm] \mathcal{P}_{A}= -(t-2)^3 [/mm]
1) Berechne die Jordansche Normalform [mm]A'[/mm] von [mm]A[/mm].
2) Berechne die Matrix [mm]S[/mm] mit [mm]A'=S^{-1}AS[/mm]

1) Das hab ich nun schon gemacht:

        [mm] {\emptyset} [/mm] / Ker(A-2E) / [mm] Ker(A-2E)^2 [/mm]  / [mm] Ker(A-2E)^3 [/mm] /  [mm] Ker(A-2E)^4 [/mm]
dim:    0      1           2            3           3
Diff.:      1        1           1            0
Diff.:          0          0            1

Daher weiß ich, dass ein 3x3 Jordankästchen existiert.
A'= [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 } [/mm]

2) hier weiß ich leider nicht weiter. Kann mir jemand eine Anleitung zur Bestimmung dieser Matrix S geben?

Vielen Dank schon mal!
m0ppel

        
Bezug
Jordansche Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 So 26.09.2010
Autor: angela.h.b.

Hallo,

Deine Tabelle kann ich schlecht verstehen, aber die JNF sieht mir richtig aus.

Zur Jordanbasis: google mal nach "Kochen mit Jordan". Da ist alles schon erklärt.

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Jordansche Normalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 Mo 27.09.2010
Autor: m0ppel

Also ich hab das jetzt mal versucht:
Als erstes habe ich die Basen der Kerne bestimmt
[mm]Ker(A-2I) [/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] (A-2I)= [mm] \pmat{ 1 & 4 & 3 \\ -1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 1} [/mm] Basis des Kerns: [mm] \{ \vektor{1 \\ -1 \\ 1} \} [/mm]
[mm] Ker(A-2I)^2 \Rightarrow (A-2I)^2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & 2 & 2} [/mm] Basis des Kerns: [mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ -1} \} [/mm]
Da ich ein [mm] 3\times3 [/mm] Kästchen habe, nehme ich ein Basisvektor des [mm] \IR^3 [/mm] der nicht im [mm] Ker(A-2I)^2 [/mm] liegt.
[mm] j_{1}= \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm]
Dann ergibt sich folgende Basis: [mm] \{j_{1}, (A-2I)*j_{1}, (A-2I)^2*j_{1}\} [/mm] = [mm] \{ \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{2 \\ -1 \\ 1}, \vektor{1 \\ -1 \\ 1} \} [/mm]
welche auch linear unabhängig sind.

Da ich nur 3 Basisvektoren benötige, bin ich doch jetzt schon fertig.
Daraus ergibt sich mein [mm] S=\pmat{ 0 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1} [/mm]
Laut wolfram lautet [mm] S^{-1}= \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 2} [/mm]
Wenn ich jetzt [mm] S^{-1}AS [/mm] rechne kommt bei mir nicht A' heraus. Was mache ich denn da falsch?

Vielen Dank
m0ppel

Bezug
                        
Bezug
Jordansche Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 Mo 27.09.2010
Autor: MathePower

Hallo m0ppel,

> Also ich hab das jetzt mal versucht:
> Als erstes habe ich die Basen der Kerne bestimmt
>  [mm]Ker(A-2I)[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] (A-2I)= [mm]\pmat{ 1 & 4 & 3 \\ -1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 1}[/mm]
> Basis des Kerns: [mm]\{ \vektor{1 \\ -1 \\ 1} \}[/mm]
>  [mm]Ker(A-2I)^2 \Rightarrow (A-2I)^2[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & 2 & 2}[/mm] Basis des
> Kerns: [mm]\{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ -1} \}[/mm]
>  
> Da ich ein [mm]3\times3[/mm] Kästchen habe, nehme ich ein
> Basisvektor des [mm]\IR^3[/mm] der nicht im [mm]Ker(A-2I)^2[/mm] liegt.
> [mm]j_{1}= \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>  Dann ergibt sich folgende
> Basis: [mm]\{j_{1}, (A-2I)*j_{1}, (A-2I)^2*j_{1}\}[/mm] = [mm]\{ \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{2 \\ -1 \\ 1}, \vektor{1 \\ -1 \\ 1} \}[/mm]
>  
> welche auch linear unabhängig sind.
>  
> Da ich nur 3 Basisvektoren benötige, bin ich doch jetzt
> schon fertig.
> Daraus ergibt sich mein [mm]S=\pmat{ 0 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1}[/mm]



Die Matrix S muss so aussehen:

[mm]S=\pmat{ 0 & 4 & 2 \\ 1 & -2 & -2 \\ 0 & 2 & 2}[/mm]

Oder wenn Du auf den Vektor [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] bestehst:

[mm]S=\pmat{ -1 & 1 & 1\\ \bruch{1}{2} & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]


>  
> Laut wolfram lautet [mm]S^{-1}= \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 2}[/mm]
>  
> Wenn ich jetzt [mm]S^{-1}AS[/mm] rechne kommt bei mir nicht A'
> heraus. Was mache ich denn da falsch?
>  
> Vielen Dank
>  m0ppel


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Jordansche Normalform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:15 Di 28.09.2010
Autor: m0ppel

Danke, hab ich voll vergessen, dass ich die nicht als normale Basisvektoren angeben kann, sondern so wie sie errechnet wurden. ;-)

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