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| Aufgabe | Man bestimme die Frobenius-Normalform und die Jordansche Normalform(falls es sie gibt) für folgende Matrizen
[mm] A=\pmat{ -1 & -1 & -2 & -1 \\ -6 & 6 & 8 & 10 \\ -2 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & -3 & -10 & -7 }\in M_{4}(\IR)
[/mm]
[mm] B=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 }\in M_{4}(\IR) [/mm] |
So jetzt hab ich als charakt. Polynom [mm] \chi_A [/mm] (x) = [mm] x^4 [/mm] - 20 [mm] x^2 [/mm] + 64 heraus als Eigenwerte ergeben sich [mm] x_1 [/mm] = 2 , [mm] x_2 [/mm] = -2, [mm] x_3 [/mm] = 4, [mm] x_4 [/mm] = -4
Als Eigenvektoren hab ich nun für [mm] x_1: (1,-2,-2,3)^T
[/mm]
für [mm] x_2: (-1,-2,0,1)^T
[/mm]
für [mm] x_3: (1,-4,-2,3)^T
[/mm]
für [mm] x_4: (0,-1,0,1)^T
[/mm]
Hab ich jetzt nicht schon die Jordan Normalform mit
[mm] J=\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -4 }
[/mm]
weil die algebraische und die geometrische Vilfachheit sind doch jeweils 1??
Außerdem hab ich gar keine Idee wie ich auf die Frobenius Normalform komme
wäre schön wenn jemand einen Ansatz für mich hätte
mfg eddie
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> Man bestimme die Frobenius-Normalform und die Jordansche
> Normalform(falls es sie gibt) für folgende Matrizen
>
> [mm]A=\pmat{ -1 & -1 & -2 & -1 \\
-6 & 6 & 8 & 10 \\
-2 & 2 & 2 & 2 \\
1 & -3 & -10 & -7 }\in M_{4}(\IR)[/mm]
>
> [mm]B=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -1 }\in M_{4}(\IR)[/mm]
>
> So jetzt hab ich als charakt. Polynom [mm]\chi_A[/mm] (x) = [mm]x^4[/mm] - 20
> [mm]x^2[/mm] + 64 heraus als Eigenwerte ergeben sich [mm]x_1[/mm] = 2 , [mm]x_2[/mm] =
> -2, [mm]x_3[/mm] = 4, [mm]x_4[/mm] = -4
> Als Eigenvektoren hab ich nun für [mm]x_1: (1,-2,-2,3)^T[/mm]
>
> für [mm]x_2: (-1,-2,0,1)^T[/mm]
> für [mm]x_3: (1,-4,-2,3)^T[/mm]
> für [mm]x_4: (0,-1,0,1)^T[/mm]
>
> Hab ich jetzt nicht schon die Jordan Normalform mit
> [mm]J=\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -4 }[/mm]
Hallo,
vorausgesetzt, daß charakteristisches Polynom und Eigenwerte stimmen, was ich nicht geprüft habe, ist Deine JNF richtig.
Wie die Frobenius-Normalform funktioniert, habe ich leider vergessen.
Vielleicht kann Dir wer anders weiterhelfen, bevor ich zum Nachlesen komme.
Gruß v. Angela
>
> weil die algebraische und die geometrische Vilfachheit sind
> doch jeweils 1??
> Außerdem hab ich gar keine Idee wie ich auf die Frobenius
> Normalform komme
> wäre schön wenn jemand einen Ansatz für mich hätte
> mfg eddie
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> Man bestimme die Frobenius-Normalform und die Jordansche
> Normalform(falls es sie gibt) für folgende Matrizen
>
> [mm]A=\pmat{ -1 & -1 & -2 & -1 \\
-6 & 6 & 8 & 10 \\
-2 & 2 & 2 & 2 \\
1 & -3 & -10 & -7 }\in M_{4}(\IR)[/mm]
>
> [mm]B=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -1 }\in M_{4}(\IR)[/mm]
>
> So jetzt hab ich als charakt. Polynom [mm]\chi_A[/mm] (x) = [mm]x^4[/mm] - 20
> [mm]x^2[/mm] + 64 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") heraus als Eigenwerte ergeben sich [mm]x_1[/mm] = 2 , [mm]x_2[/mm] =
> -2, [mm]x_3[/mm] = 4, [mm]x_4[/mm] = -4
> Als Eigenvektoren hab ich nun für [mm]x_1: (1,-2,-2,3)^T[/mm]
>
> für [mm]x_2: (-1,-2,0,1)^T[/mm]
> für [mm]x_3: (1,-4,-2,3)^T[/mm]
> für [mm]x_4: (0,-1,0,1)^T[/mm]
>
> Hab ich jetzt nicht schon die Jordan Normalform mit
> [mm]J=\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -4 }[/mm]
>
> weil die algebraische und die geometrische Vilfachheit sind
> doch jeweils 1??
> Außerdem hab ich gar keine Idee wie ich auf die Frobenius
> Normalform komme
Du hast das chark. Polynom. [mm] $\chi (\lambda)=64+\lambda^4-20*\lambda^2$
[/mm]
Da deine Matrix diagonalisierbar ist, ist die Frobeniusform:
[mm] \left( \begin {array}{cccc} 0&0&0&-64\\
1&0&0&0
\\
0&1&0&20\\
0&0&1&0\end {array}
\right)
[/mm]
Bedenke, dass unterhalb der Hauptdiagonalen immer eine 1 steht und in der letzten Spalte grad die Koeffs vom charakt. Polynom *(-1).
Dein einziger invarianter Faktor ist eben nur das ganze charakterischtische Polynom.
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http://de.wikipedia.org/wiki/Frobenius-Normalform
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Sa 14.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo wieschoo,
> Du hast das chark. Polynom. [mm]\chi (\lambda)=64+\lambda^4-20*\lambda^2[/mm]
>
> Da deine Matrix diagonalisierbar ist, ist die
> Frobeniusform:
> [mm]\left( \begin {array}{cccc} 0&0&0&-64\\
1&0&0&0
\\
0&1&0&20\\
0&0&1&0\end {array}
\right)
[/mm]
>
> Bedenke, dass unterhalb der Hauptdiagonalen immer eine 1
> steht und in der letzten Spalte grad die Koeffs vom
> charakt. Polynom *(-1).
>
> Dein einziger invarianter Faktor ist eben nur das ganze
> charakterischtische Polynom.
Wieso das denn? Muss man hier nicht für jeden LInearfaktor (x-2),(x+2),(x-4),(x+4) einen Block bestimmen und die Blöcke als Frobenius Normalform zusammensetzen? Wieso ist nur das ganze Polynom der invariante Faktor?
Vielen Dank
lg
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> Hallo wieschoo,
>
> > Du hast das chark. Polynom. [mm]\chi (\lambda)=64+\lambda^4-20*\lambda^2[/mm]
>
> >
> > Da deine Matrix diagonalisierbar ist, ist die
> > Frobeniusform:
> > [mm]\left( \begin {array}{cccc} 0&0&0&-64\\
1&0&0&0 \\
0&1&0&20\\
0&0&1&0\end {array} \right)[/mm]
>
> >
> > Bedenke, dass unterhalb der Hauptdiagonalen immer eine 1
> > steht und in der letzten Spalte grad die Koeffs vom
> > charakt. Polynom *(-1).
> >
> > Dein einziger invarianter Faktor ist eben nur das ganze
> > charakterischtische Polynom.
>
> Wieso das denn? Muss man hier nicht für jeden LInearfaktor
> (x-2),(x+2),(x-4),(x+4) einen Block bestimmen und die
Die Invariante Faktoren teilen jeden Nachfolger. Du brauchst eine Darstellung [mm]h_i \in K[X][/mm] mit [mm]h_i \; |\; h_{i+1}[/mm]
Das geht hier nicht.
> Blöcke als Frobenius Normalform zusammensetzen? Wieso ist
> nur das ganze Polynom der invariante Faktor?
Ich habe den Smithalgorithmus angewendet. Wenn man das macht, dann erhält man
[mm]\pmat{1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&\chi(\lambda)}[/mm]
und weiß nur [mm] $\chi(\lambda)$ [/mm] ist ein invarianter Teiler. (Die Ahorn-Software bestätigt mir auch, dass ich keinen Rechenfehler habe)
Betrachte doch einmal:
[mm]\left[ \begin {array}{cccc} 0&1&0&0\\ \noalign{\medskip}1&1&0&0
\\ \noalign{\medskip}0&0&0&1\\ \noalign{\medskip}0&0&1&1\end {array}
\right]
[/mm]
Die Matrix hat eben das charakt. Polynom: [mm] $\chi=\left( {\lambda}^{2}-\lambda-1 \right) [/mm] ^{2}$. Hier findest du so eine Darstellung mit [mm] $h_1=h_2=\left( {\lambda}^{2}-\lambda-1 \right) [/mm] $
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Ja gut vielen Dank war ja gar nicht so schwer jetzt hab ich mich an der b) versucht und da gabs jetzt auch schon erste Probleme als charakteristisches Polynom hab ich [mm] \chi_B [/mm] (X) = [mm] X^4 [/mm] -4
Als Eigenwerte ergeben sich im Reellen [mm] X_1 [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
und [mm] X_2 [/mm] = - [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Jetzt habe ich die Eigenvektoren bestimmt und es ergibt sich für
[mm] X_1 [/mm] = [mm] (1+\wurzel{2},0,0,1)^T
[/mm]
[mm] X_2 [/mm] = [mm] (1-\wurzel{2},0,0,1)^T
[/mm]
Ist die Frobenius Normalform jetzt
F = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 4\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0}
[/mm]
??
und wie komme ich jetzt auf die Jordansche Normalform bzw existiert sie im Reellen überhaupt ich denke nämlich dass sie gar nicht existiert
Bitte nochmals um Hilfe
Grüße Eddie
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Sa 14.05.2011 | | Autor: | Tufaize |
Hey, ich glaube für die b) gibt es keine JNF, weil das charakteristische Polynom sich nicht vollständig in Linear Faktoren zerlegen lässt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Sa 14.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
Das stimmt nicht ganz!
Man kann die rellen Jordankästchen auch in der folgenden Form schreiben:
[mm]J_j= \begin{pmatrix}
a_j & b_j & & & & & & 0 \\
-b_j & a_j & 1 & & & & & \\
& & a_j & b_j & & & & \\
& & -b_j & a_j & 1 & & & \\
&&& \ddots{} & \ddots{} & \ddots{} & & \\
&&&& \ddots{} & \ddots{} & 1 & \\
&&&&& \ddots{} & a_j & b_j \\
0 &&&&& & -b_j & a_j \\
\end{pmatrix}[/mm]
wobei im charakteristischen Polynom ein irreduzible Faktor dann zu dem Kästchen vorliegen muss:
[mm]b_j^2 +(\lambda-a_j)^2 [/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Sa 14.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
Ich mach auch grad die Aufgabe.
> Hab ich jetzt nicht schon die Jordan Normalform mit
> [mm]J=\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -4 }[/mm]
>
> weil die algebraische und die geometrische Vilfachheit sind
> doch jeweils 1??
Woher weiß man denn, dass in der Nebendiagonalen keine 1 en stehen müssen?
Vielen Dank
lg
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> Hallo,
>
> Ich mach auch grad die Aufgabe.
>
> > Hab ich jetzt nicht schon die Jordan Normalform mit
> > [mm]J=\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -4 }[/mm]
>
> >
> > weil die algebraische und die geometrische Vilfachheit sind
> > doch jeweils 1??
>
> Woher weiß man denn, dass in der Nebendiagonalen keine 1
> en stehen müssen?
Wenn eine Matrix diagonalisierbar ist, dann ist jedes Jordankästchen von der Größe eins.
Damit hat die JNF diagonalgestalt. ( Die Matrix ist ja diagonalisierbar)
Man möchte mit der JNF eine "allgemeinere Form" der Diagonalisierung haben. Dabei ist es wünschenswert, dass die Formen übereinstimmen, sofern die Matrix diagonalisierbar ist. Es sind ja auch übrigens genug Eigenvektoren vorhanden.
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