K-VR, Integritätsbereich < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:17 So 18.01.2015 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei R ein Integritätsbereich und [mm] $K\subseteq [/mm] R$ ein Körper.
Zeigen Sie: Wenn R als K-Vektorraum endliche Dimension hat, dann ist R bereits ein Körper. |
Hi,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Nämlich verstehe ich glaube ich die Aufgabenstellung nicht richtig...
Soll ich zeigen, dass R ein Körper ist, oder R als Vektorraum über K ein Körper ist? Oder ist das einfach dasselbe?
Ansonsten weiß ich nicht wie genau ich hier rangehen soll.
Einfach die Körperaxiome nachrechnen?
R hat als K-Vektorraum endliche Dimension.
[mm] $dim(R)=n<\infty$ [/mm] also wird R von n-Basisvektoren über K erzeugt.
Ansonsten hat R als Vektorraum ja schon recht viele Eigenschaften die auch ein Körper hat und weil R ein Integritätsbereich ist, müsste ich auch die Invertierbarkeit der Elemente bekommen?
Aber einfach die Körperaxiome nachprüfen kann doch unmöglich der gewünschte Weg sein.
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> Sei R ein Integritätsbereich und [mm]K\subseteq R[/mm] ein
> Körper.
> Zeigen Sie: Wenn R als K-Vektorraum endliche Dimension
> hat, dann ist R bereits ein Körper.
> Hi,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Nämlich verstehe
> ich glaube ich die Aufgabenstellung nicht richtig...
> Soll ich zeigen, dass R ein Körper ist, oder R als
> Vektorraum über K ein Körper ist? Oder ist das einfach
> dasselbe?
Hallo,
gegeben hast Du einen Körper K, welcher Teilmenge eines Integritätsbereiches R ist.
Ich vermute stark, daß Ihr bereits gezeigt habt, daß wenn K ein Körper und R ein Ring mit [mm] K\subset [/mm] R ist, R "in natürlicher Weise", also mit der Addition und Multiplikation in R, ein VR über K ist.
Falls ihr es nicht gezeigt habt: das ist ganz einfach.
Ich denke aber, daß Du so, wie die Aufgabe gestellt ist, "R ist ein VR über K" als Selbstverständlichkeit verwenden kannst.
In Deiner Aufgabe vorausgesetzt wird nun, daß R als VR über K endlichdimensional ist.
Und unter dieser Voraussetzung sollst Du zeigen: R ist ein Körper.
>
> Ansonsten weiß ich nicht wie genau ich hier rangehen soll.
> Einfach die Körperaxiome nachrechnen?
Im Prinzip: ja.
Nun hat ein Integritätsbereich schon ziemlich viele Eigenschaften eines Körpers.
Das einzige, was dem Integritätsbereich u.U. fehlt, ist die Invertierbarkeit seiner von der Null verschiedenen Elemente.
Und genau diese mußt Du hier zeigen.
Zum Beweis: sei [mm] a\in [/mm] R mit [mm] a\not=0.
[/mm]
Betrachte nun die lineare Abbildung
[mm] f:R\to [/mm] R
mit
f(x):=a*x.
Wenn es Dir gelingt zu zeigen, daß sie surjektiv ist, hast Du die Invertierbarkeit von a gezeigt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:17 So 18.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Da R über K als Vektorraum endliche Dimension hat sollte es reichen die injektivität zu zeigen, weil injektive Selbstabbildungen in endliche Mengen, ich hoffe ich kann hier die endliche Dimension so interpretieren, sind surjektiv.
Die injektivität dieser Abbildung folgt im Grunde direkt.
Sei [mm] $x_1, x_2\in [/mm] R$ mit, dann ist
[mm] $f(x_1)=f(x_2)$ [/mm] also
[mm] $ax_1=ax_2$. [/mm] Da R ein Integritätsbereich ist, kann ich kürzen:
[mm] $x_1=x_2$, [/mm] also ist f injektiv und damit surjektiv.
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> Da R über K als Vektorraum endliche Dimension hat sollte
> es reichen die injektivität zu zeigen, weil injektive
> Selbstabbildungen in endliche Mengen, ich hoffe ich kann
> hier die endliche Dimension so interpretieren,
Hallo,
nein, das kannst Du nicht so interpretieren.
Endlichdimensionale Vektorräume sind ja nicht zwingend endliche Mengen.
Oder findest Du [mm] \IR^2 [/mm] endlich?
Du hast schon recht damit, daß hier aus der Injektivität die Surjektivität folgt,
aber es gescheites Argument dafür mußt Du überlegen.
Du findest es in der linearen Algebra.
> sind
> surjektiv.
>
> Die injektivität dieser Abbildung folgt im Grunde direkt.
>
> Sei [mm]x_1, x_2\in R[/mm] mit, dann ist
>
> [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm] also
>
> [mm]ax_1=ax_2[/mm]. Da R ein Integritätsbereich ist,
und [mm] a\not=0
[/mm]
> kann ich
> kürzen:
(Sofern "kürzen" in dem Zusammenhang besprochen wurde.
Ansonsten [mm] a(x_1-x_2)=0 [/mm] angucken.)
>
> [mm]x_1=x_2[/mm], also ist f injektiv und damit surjektiv.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:48 So 18.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ja "kürzen" haben wir in dem Zusammenhang besprochen. Ansonsten
[mm] $a(x_1-x_2)=0$
[/mm]
[mm] $a\neq [/mm] 0$ also [mm] $x_1-x_2=0$ [/mm] somit [mm] $x_1=x_2$
[/mm]
Gibt es eigentlich einen Vektorraum der nur endlich viele Elemente enthält?
Mir ist leider nur bekannt, dass injektive Selbstabbildungen (von endlichen Mengen) surjektiv sind.
Hast du einen Gedankenanstoß wo ich in der linearen Algebra "suchen" soll?
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> Gibt es eigentlich einen Vektorraum der nur endlich viele
> Elemente enthält?
Hallo,
ja, etwa [mm] V:=K^2 [/mm] über K, wenn K der Körper mit 2 Elementen ist.
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> Mir ist leider nur bekannt, dass injektive
> Selbstabbildungen (von endlichen Mengen) surjektiv sind.
> Hast du einen Gedankenanstoß wo ich in der linearen
> Algebra "suchen" soll?
Bei den Endomorphismen.
Ich denke, daß Du im Prinzip weißt (=es mal gelernt hast), daß für Endomorphismen f von endlichdimensionalen Vektorräumen gilt:
f injektiv <==> f surjektiv.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 So 18.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ich bin noch mal meine Skripte durchgegangen, aber habe diesen Satz ehrlich gesagt nicht gefunden...
Ist es schwer das zu zeigen?
Ist f hier denn ein Endomorphismus, bzw. da steckt die surjektivität der Abbildung ja schon drin, oder nicht?
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Hallo Yusul,
dann weißt du vielleicht, dass echte Unterräume echt kleinere Dimension haben und genauso für nichttriviale Quotienten? Wenn [mm] $V\to [/mm] V$ jetzt injektiv ist, hat das Bild dieselbe Dimension wie $V$, kann also kein echter Unterraum sein. Wenn [mm] $V\to [/mm] V$ surjektiv ist, hat $V$ dieselbe Dimension wie [mm] $V/\ker$, [/mm] also muss der Kern trivial sein.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 So 18.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ok, das einzige was ich dann noch zeigen muss ist, dass der Kern trivial ist?
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> Ok, das einzige was ich dann noch zeigen muss ist, dass der
> Kern trivial ist?
Ja!
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 So 18.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Gut, das ist nämlich einfach, weil [mm] $a\neq [/mm] 0$ ist die einzige Lösung der Gleichung
$ax=0$ natürlich
$x=0$
Und es gibt ein solches Nullelement, weil R ein Ring ist.
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> Gut, das ist nämlich einfach, weil
wegen
> [mm]a\neq 0[/mm]
und R Int.ber.
> ist die einzige
> Lösung der Gleichung
>
> [mm]ax=0[/mm] natürlich
>
> [mm]x=0[/mm]
genau.
>
> Und es gibt ein solches Nullelement,
Das stehtüberhaupt nicht zur Debatte.
LG Angela
weil R ein Ring ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 So 18.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ok, danke.
Und damit bin ich ja nun bereits fertig.
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> Ich bin noch mal meine Skripte durchgegangen, aber habe
> diesen Satz ehrlich gesagt nicht gefunden...
Hallo,
ich bin mir ganz sicher, daß es irgendwo steht...
Vllt. in der Nähe von dem, wo steht, was mit dem Bild der Basis ist:
f: [mm] V\to [/mm] W linear
f injektiv: Bild der Basis linear unabhängig
f surjektiv: Bild der Basis ist Erzeugendensystem von W
f bijektiv: Bild der Basis ist Basis von W
>
> Ist es schwer das zu zeigen?
Nein.
> Ist f hier denn ein Endomorphismus, bzw. da steckt die
> surjektivität der Abbildung ja schon drin, oder nicht?
Nein.
Endomorphismus sagt lediglich, daß es ein Homomorphismus ist, bei dem Start- und Zielraum gleich sind.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 So 18.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ups, ich hatte gerade Endomorphismus mit Epimorphismus durcheinander gebracht. Sorry...
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