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| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum und sei [mm] M={a_1, ..., a_n, b, b_1, ..., b_m, c} [/mm] eine Menge von Vektoren aus V mit n>=2 und m>=1
Beweisen Sie:
a) Ist der Vektor b von [mm] {a_1, ..., a_n} [/mm] linear abhängig, aber nicht von [mm] {a_1, ..., a_(n-1)}, [/mm] dann ist [mm] a_n [/mm] von [mm] {a_1, ..., a_(n-1), b} [/mm] linear abhängig.
b) Ist c von [mm] {b_1, ..., b_m} [/mm] linear abhängig und ist jeder Vektor [mm] b_j, (j\in\{l, ..., m}, [/mm] von [mm] {a_1, ..., a_n} [/mm] linear abhängig, so ist c von [mm] {a_1, ...,a_n} [/mm] linear abhängig.
c) Ist [mm] {a_1, ..., a_(n-1)} [/mm] linear unabhängig, aber [mm] {a_1,..., a_n} [/mm] linear abhängig, dann ist [mm] a_n [/mm] von [mm] {a_1, ..., a_(n-1)} [/mm] linear abhängig. |
Hi!! Ich sitze nun schon ein Weile an dieser Aufgabe, aber ich finde einfach keinen Lösungsansatz, deshalb wäre ich sehr dankbar, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
MfG, Susi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Mi 29.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Susi,
bei den Aufgaben empfiehlt es sich fast immer einfach drauf loszurechnen.
> a) Ist der Vektor b von [mm]{a_1, ..., a_n}[/mm] linear abhängig,
> aber nicht von [mm]{a_1, ..., a_(n-1)},[/mm] dann ist [mm]a_n[/mm] von [mm]{a_1, ..., a_(n-1), b}[/mm]
> linear abhängig.
also wegem dem ersten, weißt du, dass es skalare [mm] s_i [/mm] gibt, so dass:
[mm] $b=s_1*a_1+\ldots +s_n*a_n$
[/mm]
du willst nun zeigen, dass es auch für [mm] a_n [/mm] solch eine darstellung gibt, wenn du aber die gleichung nach [mm] a_n [/mm] umstellst, musst du zum schluss durch [mm] s_n [/mm] teilen, also musst du noch zeigen, dass [mm] $s_n\not= [/mm] 0$ ist.
aber was passiert wenn [mm] s_n=0 [/mm] wäre in obiger gleichung und wozu wäre das ein widerspruch?
> b) Ist c von [mm]{b_1, ..., b_m}[/mm] linear abhängig und ist jeder
> Vektor [mm]b_j, (j\in\{l, ..., m},[/mm] von [mm]{a_1, ..., a_n}[/mm] linear
> abhängig, so ist c von [mm]{a_1, ...,a_n}[/mm] linear abhängig.
kann es sein, dass du hier alle [mm] b_j [/mm] mit j=1..m meintest ? (oder woher kommt das l ?)
ich gehe also mal von allen [mm] b_j [/mm] aus..
dann gibt es für jedes [mm] b_j [/mm] eine darstellung:
[mm] $b_j=s_{1,j}*a_1+\ldots +s_{n,j}*a_n$
[/mm]
und weil c ja von den b's abhängig war gibt es auch:
[mm] $c=t_1*b_1+\ldots +t_m*b_m$
[/mm]
wenn du jetzt alle [mm] b_j [/mm] einsetzt und alle koeffizienten vor den [mm] a_i [/mm] zusammenfasst, was hast du dann?
> c) Ist [mm]{a_1, ..., a_(n-1)}[/mm] linear unabhängig, aber
> [mm]{a_1,..., a_n}[/mm] linear abhängig, dann ist [mm]a_n[/mm] von [mm]{a_1, ..., a_(n-1)}[/mm]
> linear abhängig.
das funzt ähnlich wie bei a)
weil die [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_n [/mm] abhängig waren, gibt es eine nicht-triviale darstellung der 0, also :
[mm] $0=s_1*a_1+\ldots +s_n*a_n$ [/mm] , wobei nicht alle [mm] s_i [/mm] gleich 0 sein dürfen.
wenn du nach [mm] a_n [/mm] auflösen könntest wärest du schon fertig, aber dazu muss [mm] s_n [/mm] ungleich 0 sein - was passiert aber, wenn [mm] s_n=0 [/mm] wäre, wo ist der Widerspruch?!?
viele grüße
DaMenge
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