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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 So 21.11.2004 | | Autor: | kalina |
Hallo!!
Irgendwie schaffe ich folgende Aufgaben nicht, obwohl sie doch so leicht aussehen:
Sei V ein K-Vektorraum. Beweisen Sie:
a) [mm] \forall v\in [/mm] V:0*v=o
b) [mm] \forall\lambda\in K:\lambda*o=o
[/mm]
c) [mm] \forall\lambda\in K,v\in V:\lambda*v=o [/mm] oder v=o
d) [mm] \forall v\in [/mm] V:(-1)*v=-v
für Aufgabe b) habe ich mir folgendes überlegt: [mm] \lambda*o=\lambda*o+o=\lambda*(o+o)=\lambda*o+\lambda*o
[/mm]
[mm] \Rightarrow\lambda*o=\lambda*o+\lambda*o |-\lambda*o [/mm]
[mm] \Rightarrow o=\lambda*o
[/mm]
bei Aufgabe d) würde ich die vollständige Induktion bevorzugen. Bei Aufgabe a) und c) komm ich gar nicht weiter. Irgendwie versteh ich den Unterschied zw. o und 0 bzw. zw.K und V nicht. Kann mir jemand helfen?? Bitte, ich komme alleine einfach nicht mehr weiter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 So 21.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> Irgendwie versteh ich den Unterschied zw. o und 0 bzw. zw.K und V nicht
Oh, damit fange ich am Besten an:
Mit [mm] $o\in [/mm] V$ wird der Nullvektor des Vektorraumes bezeichnet. Er hat die Eigenschaft, dass für alle [mm] $v\in [/mm] V$ die Gleichung $v+o=v$ gilt, er ist also das additiv neutrale Element. Hingegen wird mit [mm] $0\in [/mm] K$ das additiv neutrale Element der Addition auf dem Körper K bezeichnet, dem der Vektorramu zu Grunde liegt. Analog zur Eigenschaft des Nullvektors gilt für alle [mm] $k\in [/mm] K$ die Gleichung $k+0=k$. Ist das nun klar?
Der Unterschied zwischen K und V ist viel wichtiger. Mit V wird der Vektorraum bezeichnet, der auf dem Körper K aufbaut. Das heißt, dass die Skalare, mit denen jeder Vektor in V multipliziert werden kann (Skalarmultiplikation), Elemente aus K sind. Ist es nun ein wenig klarer? Wenn nicht, dann bohr weiter nach und ich werde ein wenig ausführlicher werden.
Nun zu deinen Aufgaben:
Aufabe (b) hast du schon völlig richtig gelöst, indem du dir die additive Neutralität von $o$ zu Nutze gemacht hast. Genau so kannst du auch bei (a) verfahren. Dort jedoch nutzt du nicht die Neutralität des Nullvektors, sondern des additiv Neutralen Elementes [mm] $0\in [/mm] K$ aus, denn für dieses gilt ja (s.o.) die Gleichung $0=0+0$. Dies kannst du einsetzen und wie bei (b) gelangst du damit sofort zum Ziel.
Aufgabe (c) verstehe ich nicht so recht, vielleicht kann dort jemand anders einspringen - bist du sicher, dass sie so lautete?
Nun aber zu Aufgabe (d). Wieder ein paar Worte zur Nomenklatur. Mit [mm] $(-v)\in [/mm] V$ bezeichnet man das additive Inverse zum Vektor [mm] $v\in [/mm] V$, d.h., dass für den Vektor $(-v)$ die Gleichung $v+(-v)=0$ gilt. Dabei darfst du $(-v)$ nicht mit [mm] $(-1)\cdot [/mm] v$ verwechseln, also dem Produkt der skalaren Multiplikation von [mm] $v\in [/mm] V$ mit [mm] $-1\in [/mm] K$. Deine Aufgabe ist es nun zu zeigen, dass [mm] $(-v)=(-1)\cdot [/mm] v$ gilt. Dazu kannst du mit folgender Gleichung beginnen, welche nach Definition von $(-v)$ richtig ist: $v+(-v)=0$. Nun musst du auf beiden Seiten etwas addieren und das Distributivgesetz anwenden: [mm] $\lambda_1\cdot v+\lambda_2\cdot v=(\lambda_1+\lambda-2)\cdot [/mm] v$. Denk daran: es muss etwas mit [mm] $(-1)\cdot [/mm] v$ zu tun haben. Versuch's einfach mal und melde dich ggf. wieder.
Viel Erfolg und Liebe Grüße,
Hanno
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Ich denke c) muss wie folgt lauten:
[mm] \forall \lambda \in [/mm] K, v [mm] \in [/mm] V: [mm] \lambda [/mm] * v = o => [mm] \lambda [/mm] =0 oder v=o
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Ich habe die c) wie folgt gelöst, bin mir aber nicht sicher, ob das als Lösung ausreicht!?
Ist [mm] \lambda*v=o [/mm] mit [mm] \lambda\not=0 [/mm] so folgt
[mm] v=1*v=(\lambda^{-1}\lambda)*v
[/mm]
= [mm] \lambda^{-1} (\lambda*v)
[/mm]
= [mm] \lambda^{-1}*o
[/mm]
=o
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 So 21.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Dein Beweis zu c) ist absolut korrekt. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 So 21.11.2004 | | Autor: | kalina |
Hallo! Erstmal wollte ich mich für die fixe, ausführliche und sehr gut erklärte Antwort bedanken. Es macht halt doch ein Unterschied, wenn jemand das erklärt. Im Buch hätte ich das niemals so verstanden.Danke!!!Bei Aufgabe c) hab ich blöderweise etwas geschusselt. Du hast die Aufgabenstellung absolut richtig erkannt!!!
Tausend Küsse!!!!!!! Kalina
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 So 21.11.2004 | | Autor: | kalina |
Aufgabe a) habe ich jetzt so gemacht:
0*v=0+0*v=(0+0)*v=0*v+0*v
[mm] \Rightarrow [/mm] 0*v=0*v+0*v
[mm] \Rightarrow [/mm] o=v*0
Was ich jetzt bei a) und b) nicht verstehe ist, dass bei a) 0*v-0*v=o und bei b)o*v-o+v=o ist und nicht 0.
Der erste Teil von Aufgabe c) sehe ich genauso wie sunshinenight. Ich weiß aber auch nicht, ob es ausreicht, dass man von [mm] \lambda^{-1}*o [/mm] darauf schließen darf, dass das o ist. Den zweiten Teil von Aufgabe c), also wenn [mm] v\not=o [/mm] habe ich äquivalent zu dem ersten Teil gelöst. Kann ich ja auch mal hinschreiben, wenn ihr wollt, aber ich bin nicht sicher, weil ich in der letzten Zeile von v^(-1)*o darauf schließe, dass das gleich 0 ist. Darf ich das denn? Wenn ja, warum?
Und jetzt zur letzten Aufgabe: Die geht speziell an m00xi. Kann es sein, dass die Gleichung, die du hingeschrieben so lauten muss:
[mm] \lambda1*v+\lambda2*v=(\lambda1+\lambda2+2)*v [/mm] ??? Ansonsten verstehe ich nicht, wie du darauf kommst.
OK, dank euch beiden auf jeden Fall noch einmal, dass ihr mir so nett helft. Gruß, Kalina
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o= (0,0,...,0) ich denke mal, dass das die Antwort auf deine Frage ist, denn das o müsste ja die Menge aller 0en sein und deshalb sollte die Umformung so möglich sein, denke ich mir zumindest.
Zu deiner anderen Frage:
[mm] \lambda_{1}v+\lambda_{2}v=(\lambda_{1}+\lambda_{2})v [/mm] sollte so richtig sein. Das wird bloß ein Schreibfehler gewesen sein, denn es kommt ja das Distributivgesetz zur Anwendung.
mfg Conny
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Nochmal dazu etwas:
Ist v=o, dann folgt ja gleich [mm] \lambda*o [/mm] und das analog wie vorher =o
Ich denke, dass es ausreicht, wenn man über [mm] \lambda\not=0 [/mm] geht.
mfg
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