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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Mo 10.12.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Es seien v1, v2, v3 [mm] \in [/mm] V und V ein K-Vektorraum. Beweisen Sie oder geben Sie ein Gegenbeispiel an zu:
a) Ist (v1, v2) linear unabhängig und (v2, v3) linear unabhängig und (v3, v1) linear unabhängig, so ist (v1, v2, v3) linear unabhängig.
b) Genau dann ist (v1, v2, v3) linear unabhängig, wenn (v1, v1+v2, v1+v2+v3) linear unabhängig ist. |
Moin,
hmmm...
zu a) zwei Vektoren sind linear unabhängig wenn gilt:
[mm] \vec{0} [/mm] = [mm] p*\vec{v1} [/mm] + [mm] q*\vec{v2} [/mm] mit p=0 und q=0
[mm] \vec{0} [/mm] = [mm] r*\vec{v2} [/mm] + [mm] s*\vec{v3} [/mm] mit r=0 und s=0
[mm] \vec{0} [/mm] = [mm] t*\vec{v3} [/mm] + [mm] u*\vec{v1} [/mm] mit t=0 und u=0
nun hatte ich die idee
[mm] \vec{0} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm]
bzw.
[mm] p*\vec{v1} [/mm] + [mm] q*\vec{v2} [/mm] = [mm] r*\vec{v2} [/mm] + [mm] s*\vec{v3} [/mm]
[mm] (q-r)*\vec{v2} [/mm] = [mm] s*\vec{v3} [/mm] - [mm] p*\vec{v1} [/mm]
aber was zeigt das?
habe die vermutung, dass die aussage zutrifft! aber wie kaqnn man das zeigen???
zu b) wenn damit gemeint ist:
[mm] \vec{0} [/mm] = [mm] r*\vec{v1} [/mm] mit r=0
[mm] \vec{0} [/mm] = [mm] r*\vec{v1} [/mm] + [mm] s*\vec{v2} [/mm] mit r=0 und s=0
[mm] \vec{0} [/mm] = [mm] r*\vec{v1} [/mm] + [mm] s*\vec{v2} [/mm] + [mm] t*\vec(v3) [/mm] mit r=0 und s=0 und t=0
dann würde ich sagen ja. aber wie zeige ich das???
oder ist hier etwas anderes gemeint?
vielleicht:
[mm] \vec{0} [/mm] = [mm] r*\vec{v1} [/mm] + [mm] s*(\vec{v1} [/mm] + [mm] \vec{2}) [/mm] + [mm] t*(\vec{v1} [/mm] + [mm] \vec{v2} [/mm] + [mm] \vec{v3})
[/mm]
gegenbeispiel:
[mm] \vec{v1}= \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vec{v2}= \vektor{2 \\ 3}
[/mm]
[mm] \vec{v3}= \vektor{3 \\ 2}
[/mm]
[mm] \vec{v1+v2+v3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{2 \\ 3} [/mm] + [mm] \vektor{3 \\ 2}
[/mm]
[mm] \vec{v1+v2+v3} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 6} [/mm]
= 6* [mm] \vec{v1} [/mm]
vielen dank für eure hilfe!
wolfgang
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> Es seien v1, v2, v3 [mm]\in[/mm] V und V ein K-Vektorraum. Beweisen
> Sie oder geben Sie ein Gegenbeispiel an zu:
>
> a) Ist (v1, v2) linear unabhängig und (v2, v3) linear
> unabhängig und (v3, v1) linear unabhängig, so ist (v1, v2,
> v3) linear unabhängig.
>
> b) Genau dann ist (v1, v2, v3) linear unabhängig, wenn
> (v1, v1+v2, v1+v2+v3) linear unabhängig ist.
> Moin,
>
> hmmm...
>
> zu a)
> habe die vermutung, dass die aussage zutrifft! aber wie
> kaqnn man das zeigen???
Hallo,
gar nicht, denn die Aussage stimmt nicht.
Such ein Gegenbeispiel, Du wirst sogar im [mm] \IR^2 [/mm] fündig.
>
>
> zu b)
> vielleicht:
>
> [mm]\vec{0}[/mm] = [mm]r*\vec{v1}[/mm] + [mm]s*(\vec{v1}[/mm] + [mm]\vec{2})[/mm] + [mm]t*(\vec{v1}[/mm]
> + [mm]\vec{v2}[/mm] + [mm]\vec{v3})[/mm]
Wenn Du hieraus folgern kannst, daß, sofern die [mm] \vec{v_i} [/mm] linear unabhängig sind, r=s=t=0 gilt, so hast Du die Hin-Richtung gezeigt.
Dann noch die Rückrichtung.
>
> gegenbeispiel:
Findest Du nicht.
>
> [mm]\vec{v1}= \vektor{1 \\ 1}[/mm]
> [mm]\vec{v2}= \vektor{2 \\ 3}[/mm]
>
> [mm]\vec{v3}= \vektor{3 \\ 2}[/mm]
Das kann schon nicht als Gegenbeispiel fungieren, weil Deine Vektoren linear abhängig sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:23 Di 11.12.2007 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
zu a) habe ich jetzt...
v1 = [mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
v2 = [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
v3 = [mm] \vektor{-1 \\ 2}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] = [mm] r*\vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] s*\vektor{0 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] = [mm] r*\vektor{0 \\ 1} [/mm] + [mm] s*\vektor{-1 \\ 2}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] = [mm] r*\vektor{-1 \\ 2} [/mm] + [mm] s*\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
und dann
[mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] = [mm] r*\vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] s*\vektor{0 \\ 1} [/mm] + [mm] t*\vektor{-1 \\ 2}
[/mm]
=> r - t = 0
s + 2t =0
r= t und s= -2t d.h. eine nichttriviale Lösung ist t=1 ; r=1 ; s= -2.
zu b) habe ich jetzt...
ein beispiel
v1= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm]
v2 = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm]
v3 = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
v1 +v2 = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm]
v1 + v2 +v3 = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] r*\vektor{1 \\ 0\\ 0} [/mm] + [mm] s*\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] t*\vektor{1 \\ 1\\ 1}
[/mm]
nur wie zeige ich das allgemein???
gruß
wolfgang
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> Moin,
>
> zu a) habe ich jetzt...
>
> v1 = [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
> v2 = [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
>
> v3 = [mm]\vektor{-1 \\ 2}[/mm]
Hallo,
genau.
Merk es Dir gut, denn zu diesen (verkehrten) Schluß, daß eine Menge linear unabhängig ist, wenn alle Teilmengen linear unabhängig sind, neigt man äußerst gerne.
> zu b) habe ich jetzt...
>
> ein beispiel
> nur wie zeige ich das allgemein???
Unabhängig v. dieser Aufgabe ist es wichtig, daß Du allzeit die genaue Def. der linearen Unabhängigkeit im Kopf hast, die wirst Du immer wieder brauchen.
Ich zeige Dir das jetzt mal für die Hin-Richtung, für die Rückrichtung wirst Du etwas mehr frickeln müssen, aber das Prinzip ist völlig gleich.
Beh.:
[mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] linear unabhängig ==> [mm] (v_1, v_1+v_2, v_1+v_2+v_3) [/mm] linear unabhängig.
Beweis:
Voraussetzung: aus [mm] av_1+bv_2+cv_3=0 [/mm] folgt a=b=c=0
zu zeigen: aus [mm] rv_1+s(v_1+v_2)+t(v_1+v_2+v_3)=0 [/mm] folgt r=s=t
Es sei
[mm] rv_1+s(v_1+v_2)+t(v_1+v_2+v_3)=0
[/mm]
<==>
[mm] (r+s+t)v_1+(s+t)v_2+tv_3=0
[/mm]
==> (nach Voraussetzung)
r+s+t=0 und s+t=0 und t=0
==> r=s=t=0
Aus [mm] rv_1+s(v_1+v_2)+t(v_1+v_2+v_3)=0 [/mm] folgt also r=s=t=0, und damit ist [mm] (v_1, v_1+v_2, v_1+v_2+v_3) [/mm] linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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