Kanonische Zerlegung einer Abb < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Sa 23.10.2010 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | Es sei [mm]f:A \to B [/mm] eine surjektive Abbildung.
Man zeige:
1.)Auf A wird eine Äquivalenzrelation [mm] \sim [/mm] definiert durch [mm]a_{1} \sim a_{2} \gdw f(a_{1})=f(a_{2})[/mm]
[mm] \overline{A} [/mm] bezeichnet die Menge der Äquivalenzklasse
[mm][a][/mm] bezeichnet die von [mm]a[/mm] erzeugte Äquivalenzklasse
2.)Die Abbildung [mm]f_{1}:A \to \overline{A}[/mm] definiert durch [mm]f_{1}(a)=[a][/mm] ist surjektiv.
3.)Durch [mm]f_{2}: \overline{A} \to B[/mm], [mm]f_{2}=f(a)[/mm] wird eine Abbildung definiert.
(Zeige: Die Zuordnung ist "wohldefiniert")
4.)[mm] f_{2}: \overline{A} \to B [/mm] ist eine bijektive Abbildung.
5.)Es gilt [mm]f=f_{2}\circ f_{1}[/mm] |
zu 1.)
Hier wusste ich nicht genau, was ich da zeigen soll, da hier ja hauptsächlich nur [mm] \overline{A} [/mm] und [mm][a][/mm] definiert wird. Daher hab ich hier nur nachgewiesen, dass eine Äquivalenzrelation vorliegt. Durch das zeigen von Refliexivität, Symmetrie, Transitivität.
zu 2.)
surjektiv bedeutet: [mm] \forall [a] \in \overline{A} \exists a \in A: f_{1}(a)=[a][/mm]
[mm]a_{1} \sim a_{2} \gdw f(a_{1})=f(a_{2})[/mm]
nach Definition von Äquivalenzklassen folgt: [mm]\forall a\in A : a \sim a [/mm] (Bekannt: zwei Äquivalenzklassen sind gleich oder elementfremd)
Dher weiß ich, dass jedem Element aus [mm] \overline{A} [/mm] einer Urbildmenge zugeordnet wird, welche nicht leer ist.
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]\forall [a] \in \overline{A} \exists a \in A: f_{1}(a)=[a][/mm]
Reicht das so aus?
Die restlichen Teilaufgaben folgen sind noch in Arbeit.
Danke schon mal für die Hilfe
Lg m0ppel
|
|
| |
|
> Es sei [mm]f:A \to B[/mm] eine surjektive Abbildung.
> Man zeige:
> 1.)Auf A wird eine Äquivalenzrelation [mm]\sim[/mm] definiert
> durch [mm]a_{1} \sim a_{2} \gdw f(a_{1})=f(a_{2})[/mm]
>
> [mm]\overline{A}[/mm] bezeichnet die Menge der Äquivalenzklasse
> [mm][a][/mm] bezeichnet die von [mm]a[/mm] erzeugte Äquivalenzklasse
>
> 2.)Die Abbildung [mm]f_{1}:A \to \overline{A}[/mm] definiert durch
> [mm]f_{1}(a)=[a][/mm] ist surjektiv.
>
> 3.)Durch [mm]f_{2}: \overline{A} \to B[/mm], [mm]f_{2}=f(a)[/mm] wird eine
> Abbildung definiert.
> (Zeige: Die Zuordnung ist "wohldefiniert")
>
> 4.)[mm] f_{2}: \overline{A} \to B[/mm] ist eine bijektive
> Abbildung.
>
> 5.)Es gilt [mm]f=f_{2}\circ f_{1}[/mm]
> zu 1.)
> Hier wusste ich nicht genau, was ich da zeigen soll, da
> hier ja hauptsächlich nur [mm]\overline{A}[/mm] und [mm][a][/mm] definiert
> wird.
Hallo,
damit das definiert werden konnte, mußte allerdings erstmal gesichert sein, daß die vorgestellte Relation wirklich eine Äquivalenzrelation ist.
> Daher hab ich hier nur nachgewiesen, dass eine
> Äquivalenzrelation vorliegt. Durch das zeigen von
> Refliexivität, Symmetrie, Transitivität.
Damit hast Du das Richtige getan.
>
> zu 2.)
> surjektiv bedeutet: [mm]\forall [a] \in \overline{A} \exists a \in A: f_{1}(a)=[a][/mm]
Genau.
Mal in Worten:
für alle Elemente aus [mm] \overline{A} [/mm] gibt es ein Element aus A, welches auf das Element aus [mm] \overline{A} [/mm] abgebildet wird.
So, jetzt fangen wir mal an:
Sei [mm] y\in \overline{A}.
[/mm]
[Überlegung: was für Elemente sind denn in [mm] \overline{A}? [/mm] Die Äquivalenzklassen der oben def. Äquivalenzrelation auf A. Also]
Dann gibt es ein [mm] a\in [/mm] A mit y=[a].
nach Def. von [mm] f_1 [/mm] ist f(a)=[a]=y.
Damit ist die Surjektivität gezeigt.
Es ist hier also wirklich sehr wenig zu tun.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:06 So 24.10.2010 | | Autor: | m0ppel |
zu 3.)
[mm]f_{2}: \overline{A} \to B, f_{2}([a])=f(a)[/mm]
z.z. Wohldefiniertheit:
hier bin ich mir bei der Definition der Wohldefiniertheit nicht sicher.
lautet sie so (?):[mm] \forall [a] \in \overline{A}[/mm] [mm]\exists! f(a) \in B: f_{2}([a])=f(a)[/mm]
In Worten: Jedem Definitionswert wird eindeutig genau einem Element aus dem Wertebereich zugeordnet.
Aber das kann ja so eigentlich nicht sein, da ja schon nach Definition jeder [a] mindestens einem Element zugeordnet ist und nicht genau einem.
Wo ist hier mein Fehler? Schon in der Definition?
Lg
|
|
|
| |
|
> zu 3.)
> [mm]f_{2}: \overline{A} \to B, f_{2}([a])=f(a)[/mm]
> z.z.
> Wohldefiniertheit:
> hier bin ich mir bei der Definition der Wohldefiniertheit
> nicht sicher.
> lautet sie so (?):[mm] \forall [a] \in \overline{A}[/mm] [mm]\exists! f(a) \in B: f_{2}([a])=f(a)[/mm]
>
> In Worten: Jedem Definitionswert wird eindeutig genau einem
> Element aus dem Wertebereich zugeordnet.
Hallo,
ja genau.
Mit Zeichen:
für alle [mm] x\in \overline{A} [/mm] gibt es genau ein [mm] y\in [/mm] B mit [mm] f_2(x)=y.
[/mm]
> Aber das kann ja so eigentlich nicht sein, da ja schon
> nach Definition jeder [a] mindestens einem Element
> zugeordnet ist und nicht genau einem.
Welchen Elementen?
> Wo ist hier mein Fehler? Schon in der Definition?
Nein - obgleich ich es besser finde, sie erstmal so aufzuschreiben, wie ich es getan habe.
Worum geht es überhaupt? Man muß sicherstellen, daß für [mm] x_1=x_2 [/mm] auch [mm] f_2(x_1)=f_2(x_2) [/mm] ist.
Konkret: Du mußt der Frage auf den Grund gehen, ob für [a]=[b] auch die Funktionswerte übereinstimmen. Es wäre ja ziemlich blöd, wenn der Funktionswert von der Wahl des Repräsentanten abhängen würde.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 So 24.10.2010 | | Autor: | m0ppel |
zu 3.)
um Wohldefiniertheit zu zeigen, muss ich doch auch noch die Existenz einer solchen Abbildung beweisen, oder kann ich diese als gegeben durch die Definition betrachten?
|
|
|
| |
|
> zu 3.)
> um Wohldefiniertheit zu zeigen, muss ich doch auch noch die
> Existenz einer solchen Abbildung beweisen, oder kann ich
> diese als gegeben durch die Definition betrachten?
Hallo,
die gegebene Abbildungsvorschrift nimm "einfach so" und zeige die Wohldefiniertheit.
Damit ist dann gesichert, daß es wirklich eine Abbildung ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 So 24.10.2010 | | Autor: | m0ppel |
Also was mich hier irritiert ist, dass ja der Funktion [mm] f_{2}: \overline{A} \to [/mm] B, [mm] f_{2}([a])=f(a) [/mm] mehrere Funktionswerte herauskommen. Da eine Äquivalenzklasse zwar von nur von einer Variablen aufgespannt wird, jedoch kann diese vertauscht werden, sodass man dennoch die gleiche Äquvalenzklasse herausbekommt.
Genauer [mm][a] := \{x \in A | x \sim a \} \Rightarrow [a] = [x] [/mm]
[mm]\Rightarrow f_{2}([a])=f(a)=f(x)[/mm]
oder?
Oder ist hier nur zu zeigen, dass die Funktionswerte unabhängig sind von der Wahl des Elementes mit dem die Äquivalenzklasse aufgespannt wird?
Genauer
[mm][a] := \{x \in A | x \sim a \} \Rightarrow [a] = [x] [/mm]
[mm]\Rightarrow f_{2}([a])=f_{2}([x])=f(a)=f(x)[/mm]
lg
|
|
|
| |
|
Hallo,
Äquivalenzklassen werden nicht "aufgespannt", sie werden "repräsentiert".
Bei der Wohldefiniertheit ist nun die Repräsentantenunabhängigkeit zu zeigen.
Du mußt zeigen, daß wenn [a]=[x], dann auch [mm] f_2([a])=f_2([x]) [/mm] richtig ist.
Bew.: Sei [a]=[x].
Dann ist [mm] a\sim [/mm] x.
Es ist [mm] f_2([a])=f(a) [/mm] und [mm] f_2([x])=f(x).
[/mm]
Suche nun einen Grund dafür, daß f(a)=f(x) ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 So 24.10.2010 | | Autor: | m0ppel |
Ist das so richtig?
Seien a,x [mm] \in [/mm] A und gelte [a]=[x] dann folgt nach Definition der Äquvalenzklasse [mm] a\sim [/mm] x.
Weiter folgt: [mm]f_{2}([a])=f(a)[/mm] und [mm]f_{2}([x])=f(x)[/mm]
z.z. [mm]f_{2}([a])=f(a)=f(x)=f_{2}([x])[/mm]
Bew.
Da gilt [mm]a \sim x \gdw f(a) = f(x)[/mm] folgt [mm]f_{2}([a])=f(a)=f(x)=f_{2}([x])[/mm] qed.
|
|
|
| |
|
> Ist das so richtig?
> Seien a,x [mm]\in[/mm] A und gelte [a]=[x] dann folgt nach
> Definition der Äquvalenzklasse [mm]a\sim[/mm] x.
> Weiter folgt: [mm]f_{2}([a])=f(a)[/mm] und [mm]f_{2}([x])=f(x)[/mm]
> z.z. [mm]f_{2}([a])=f(a)=f(x)=f_{2}([x])[/mm]
> Bew.
> Da gilt [mm]a \sim x \gdw f(a) = f(x)[/mm] folgt
> [mm]f_{2}([a])=f(a)=f(x)=f_{2}([x])[/mm] qed.
Hallo,
ja, so ist's richtig.
Gruß v. Angela
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:04 Mo 25.10.2010 | | Autor: | m0ppel |
Ich brauche dringend noch Hilfe zu meinen andern beiden Fragen, ebenfalls zu dieser Aufgabe.
Vielen Dank schon mal für die Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 So 24.10.2010 | | Autor: | m0ppel |
zu 4.)
z.z. [mm]f:\overline{A}\to B[/mm],[mm]f_{2}([a])=f(a)[/mm] ist bijektiv [mm]\gdw \forall f(a) \in B[/mm] [mm]\exists! [a]\in \overline{A}:f_{2}([a])=f(a)[/mm]
surjektiv:
Annahme es existiert kein solches [a]:
Dies führt zum Widerspruch auf Grund der Definition der Äquivlenzklasse, da immer ein solches [mm] a\inA [/mm] existiert,welches [a] aufspannt.
(kann ich das hier so eifach sagen?)
injektiv:
Annahme es ex. mehr als ein [a] die dies erfüllt:
Sei [mm][x]\not=[a][/mm] und gelte [mm]f_{2}([a])=f(b)[/mm] und [mm]f_{2}([x])=f(b)[/mm] nach Definition der Abbildung ist [mm]f(b)=f(b)[/mm]
[mm]f_{2}([a])=f(b)=f(b)=f_{2}([x])[/mm]
[mm]\Rightarrow f_{2}([a])=f_{2}([x])[/mm]
Dies führt dann zum Widerspruch, da wie in 3.) gezeigt die Zuordnung von [mm]f:\overline{A}\to B[/mm],[mm]f_{2}([a])=f(a)[/mm] wohldefiniert ist.
(ist das richtig?)
lg
|
|
|
| |
|
> zu 4.)
> z.z. [mm]f_\red{2}:\overline{A}\to B[/mm],[mm]f_{2}([a])=f(a)[/mm] ist bijektiv [mm]\gdw \forall f(a) \in B[/mm] [mm]\exists! [a]\in \overline{A}:f_{2}([a])=f(a)[/mm]
Hallo,
nein, diese Äquivalenz ist falsch.
Es muß dastehen [mm] "...$\gdw \forall y\in [/mm] B$ [mm] $\exists! x\in \overline{A}:f_{2}(x)=b$" [/mm] ,
denn Sujektivität bedeutet doch, daß es für jedes Element aus B eines aus [mm] \overline{A} [/mm] gibt, welches darauf abgebildet wird, und nicht nur für die, die zufälligerweise Funktionswerte von f sind.
> surjektiv:
Sei [mm] b\in [/mm] B.
Nun mußt Du glaubhaft machen, warum ein Element aus [mm] \overline{A} [/mm] darauf abgebildet wird.
Die Verwendung vorherghender Ergebnisse ist sicher nicht dumm.
> injektiv:
> Annahme es ex. mehr als ein [a] die dies erfüllt:
> Sei [mm][x]\not=[a][/mm] und gelte [mm]f_{2}([a])=f(b)[/mm] und
> [mm]f_{2}([x])=f(b)[/mm] nach Definition der Abbildung ist [mm]f(b)=f(b)[/mm]
> [mm]f_{2}([a])=f(b)=f(b)=f_{2}([x])[/mm]
> [mm]\Rightarrow f_{2}([a])=f_{2}([x])[/mm]
Das ist zuviel blabla.
Du nimmst an, daß [mm] $[x]\not=[a]$ [/mm] und daß [mm] $f_{2}([a])=f_{2}([x])$.
[/mm]
Basta.
Hieraus sind Schlüsse zu ziehen.
> Dies führt dann zum
> Widerspruch, da wie in 3.) gezeigt die Zuordnung von
> [mm]f:\overline{A}\to B[/mm],[mm]f_{2}([a])=f(a)[/mm] wohldefiniert ist.
> (ist das richtig?)
Nein. Ich kann jedenfalls nicht folgen: wieso ist [mm] $f_{2}([a])=f_{2}([x])$ [/mm] ein Widerspruch zur Wohldefiniertheit?
Der Widerspruch, der hier folgt, liegt woanders.
Du mußt die Def. der Abbildung nachmal verwenden.
Gruß v. Angela
P.S.: Passe ggf. mal Dein Profil an. Im Hauptstudium Mathematik bist Du nicht, oder? Eher hast Du wohl Mathe als Hauptfach.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 So 24.10.2010 | | Autor: | m0ppel |
zu 5.) z.z. Es gilt [mm]f=f_{2}\circ f_{1}[/mm]
Bekannt:
- f ist surjektiv und wird von A auf B abgebildet
- [mm] f_{1} [/mm] ist surjektiv und wird von A auf [mm] \overline{A} [/mm] abgebildet ([mm]f_{1}(a)=[a][/mm])
- [mm] f_{2} [/mm] ist bijektiv und wird von [mm] \overline{A} [/mm] auf B abgebildet ([mm]f_{2}([a])=f(a)[/mm])
Sei [mm]x\in A[/mm] dann gilt [mm]f_{2}\circ f_{1}(a)= f_{2}(f_{1}(a))=f_{2}([a])=f(a)[/mm]
[mm] \Rightarrow f=f_{2}\circ f_{1} [/mm] gilt.
Kann man das so einfach sagen, oder hab ich mir das hier zu einfach gemacht?
Lg und vielen Dank für die ausführliche Hilfe
|
|
|
| |
|
> zu 5.) z.z. Es gilt [mm]f=f_{2}\circ f_{1}[/mm]
> Bekannt:
> - f ist surjektiv und wird von A auf B abgebildet
> - [mm]f_{1}[/mm] ist surjektiv und wird von A auf [mm]\overline{A}[/mm]
> abgebildet ([mm]f_{1}(a)=[a][/mm])
> - [mm]f_{2}[/mm] ist bijektiv und wird von [mm]\overline{A}[/mm] auf B
> abgebildet ([mm]f_{2}([a])=f(a)[/mm])
Hallo,
>
> Sei [mm]x\in A[/mm]
Du meinst gewiß: [mm] a\in [/mm] A.
> dann gilt [mm]f_{2}\circ f_{1}(a)= f_{2}(f_{1}(a))=f_{2}([a])=f(a)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f=f_{2}\circ f_{1}[/mm] gilt.
>
> Kann man das so einfach sagen, oder hab ich mir das hier zu
> einfach gemacht?
Nein. Es ist so einfach.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
