Kardinalität von Potenzmengen < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 So 26.02.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Seien A und B zwei Kardinalzahlen. Zeige: [mm]A
>
> Man kann sie auch so formulieren: Sind die Potenzmengen
> zweier Mengen gleichmächtig, so sind es auch die Mengen
> selbst.
>
Hmm die Implikation geht aber genau in die andere Richtung. Was meinst du denn jetzt?
also [mm]A
Wenn man die Kontinuumshypothese nicht zugrunde legt müsste die Aussagw falsch sein, weil für die Menge
die wischen [mm] $\omega$ [/mm] und dem Kontinuum liegt wäre die Potenzmenge gleich obwohl die Grundmengen nicht gleich sind!
Also wieder mal alles eine Frage des Axiomensystems!
Ich hofef das stimmt alles so. ^^
Gruß Micha 
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Hallo und guten Morgen,
auch Bezug nehmend auf die erste Antwort zur Frage:
Ich bin mir nicht sicher, ob es CH oder nicht die verallgemeinterte Kontinuumshypothese sein soll.
Meines Wissens nach ist CH die Annahme, dass zwischen [mm] w_0 [/mm] und [mm] 2^{\omega_0} [/mm] keine Kardinalzahl liegt (also echt dazwischen). Die verallgemeinerte CH besagt, dass zu jeder Kardinalzahl x keine Kardinalzahl echt zwischen
x und [mm] 2^x [/mm] liegt.
Unter der verallg. CH ist also Deine Aussage leicht zu zeigen (ist das nun der Satz von Silver ?):
a<b impliziert [mm] 2^a\leq [/mm] b < [mm] 2^b.
[/mm]
Das Argument in der Antwort von Micha, wenn CH nicht gälte, so gaebe es auch fuer diese Aussage hier ein Gegebeispiel, sehe ich nicht.
Aus a<b folgt in jedem Fall [mm] 2^a\leq 2^b. [/mm] Falls nun a< [mm] b<2^a, [/mm] so sehe ich nicht, wie daraus dann [mm] 2^b<2^a [/mm] oder so
folgen muesste.
Viele Gruesse,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Di 28.02.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo Micha, hallo mathiash!
Danke für eure Antworten. Ich habe mich jetzt etwas in die Materie eingelesen. Die Sache erweist sich als doch recht kompliziert...
Zunächst aber etwas Einfaches.
Micha schrieb:
> > Seien A und B zwei Kardinalzahlen. Zeige: [mm]A
>
> > Man kann sie auch so formulieren: Sind die Potenzmengen
> > zweier Mengen gleichmächtig, so sind es auch die Mengen
> > selbst.
>
> Hmm die Implikation geht aber genau in die andere Richtung. Was meinst du denn jetzt?
Die beiden Aussagen sind äquivalent.
Beweis: Mit [mm]AB\Rightarrow 2^A>2^B[/mm], zusammen also [mm]A\neq B\Rightarrow 2^A\neq2^B[/mm], was einfach die Kontraposition meiner zweiten Formulierung ist. - Umgekehrt folgt aus [mm]A\neq B\Rightarrow 2^A\neq2^B[/mm] unter Verwendung von [mm]A\le B\Rightarrow 2^A\le 2^B[/mm] wiederum [mm]A
Nun aber zum eigentlichen Thema.
Ganz informativ fand ich ![[]](/images/popup.gif) dieses Skript (Gloede, Uni Heidelberg), speziell Kapitel 13 (S. 110 ff. = S. 35 ff. im pdf-File).
Ich zitieren hieraus einmal den Satz von Easton:
Über die Potenzen [mm] $2^A$ [/mm] regulärer Kardinalzahlen A läßt sich in ZFC (ohne GCH!) nur $A<B [mm] \Rightarrow 2^A\le 2^B$ [/mm] und [mm] $A<\mathrm{cf}(2^A)$ [/mm] beweisen.
(Hierbei bezeichnet [mm] $\mathrm{cf}(A)$ [/mm] eine bestimmte Ordinalzahl [mm] $\le [/mm] A$, den "Konfinalitätsindex" von A. Und eine Kardinalzahl heißt regulär, falls sie gleich ihrem Konfinalitätsindex ist...![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]") )
Auf jeden Fall lassen sich daher ohne GCH Modelle konstruieren, in denen die Funktion [mm] $A\mapsto 2^A$ [/mm] "beliebig lange konstant ist". (In diesem Zusammenhang mag interessant sein, daß man - wie ich auch gerade irgendwo gelesen habe - mit Forcing für beliebige Kardinalzahlen A, B die Ungleichung [mm] $2^A>B$ [/mm] erzwingen kann.)
Daß diese Funktion mit GCH notwendigerweise strikt monoton ist, hat mathiash ja ganz richtig bemerkt.
Zum Satz von Silver: Es scheint da mehrere von ihm zu geben. Ich vermute mal, Micha meinte diesen Satz von Silver (1974):
Ist A eine nicht reguläre Kardinalzahl mit überabzählbarer Konfinalität, so überträgt sich die CH von den Zahlen unterhalb von A auf A selbst: [mm] $(\forall B<A:2^B=B^+)\Rightarrow 2^A=A^+$.
[/mm]
(Für eine andere Einschränkung an [mm] $2^A$ [/mm] für nicht reguläres A siehe das erwähnte Skript, S. 122, für eine schärfere Formulierung des Satzes von Silver S. 37 in diesem Skript (Ziegler, Uni Freiburg))
Micha schrieb:
> Ich hofef das stimmt alles so.
Nicht ganz, aber trotzdem danke! 
Auf jeden Fall wissen wir jetzt: Die Aussage "[mm]A Wie gut, daß ich gar nicht erst damit angefangen hatte, es beweisen (oder widerlegen) zu wollen...
Grüße,
Galois
Bonner Matheforum
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![[pfeif]](/images/smileys/pfeif.gif "[pfeif]"){kind=small}
![[schock]](/images/smileys/schock.gif "[schock]"){kind=small}
) .
