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| Aufgabe | Sei [mm] f:M\to [/mm] N eine glatte Abbildung. Die offene Menge [mm] U\subset [/mm] M liege im Durchschnitt zweier Kartengebiete. Die zugehörigen Koordinatenfunktionen seien [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] bzw. [mm] x_{1}', x_{2}'. [/mm] Der Kartenwechsel werde beschrieben durch
[mm] x_{1}'=x_{1}+x_{2}
[/mm]
[mm] x_{2}'=x_{1}-x_{2}
[/mm]
Analog sei [mm] V\subset [/mm] N eine offene Menge im Schnitt zweier Kartengebiete von N mit Koordinatenfunktionen [mm] y_{1}, y_{2} [/mm] bzw. [mm] y_{1}', y_{2}'. [/mm] Der Kartenwechsel werde beschrieben durch
[mm] y_{1}'=y_{1}^{3}+y_{1}+y_{2}^{3}+y_{2}
[/mm]
[mm] y_{2}'=y_{1}^{3}+y_{1}-y_{2}^{3}-y_{2}
[/mm]
Bezüglich der Karten [mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] und [mm] (y_{1}, y_{2}) [/mm] werde die Ableitung von f beschrieben durch die Matrix
[mm] \pmat{ \bruch{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} & \bruch{\partial y_{1}}{\partial x_{2}} \\ \bruch{\partial y_{2}}{\partial x_{1}} & \bruch{\partial y_{2}}{\partial x_{2}} }=\pmat{ x_{1} & x_{2} \\ x_{1} & -x_{2} }
[/mm]
Bestimmen Sie die Ableitung von f bezüglich der Karten [mm] (x_{1}', x_{2}') [/mm] und [mm] (y_{1}', y_{2}') [/mm] |
Huhu!
Also ich hab nicht wirklich Ahnung, wie ich an die Aufgabe herangehen soll, denn in der Vorlesung hatten wir noch nicht einmal wirklich erwähnt, dass die Ableitung was mit den Karten zu tun hat. Das ist nur - nenn ich es einfach mal -abstraktes Blabla.
Dagegen sieht diese Aufgabe doch ziemlich angewandt aus...
Wie macht man das aber nun? Kann man die Kartenwechsel vielleicht durch Matrizen beschreiben, die man davor und dahinter schreibt? Nein, kann eigentlich nicht sein, oder?
Mit den Gleichungen muss ich doch irgendwie auf die anderen partiellen Ableitungen kommen...
Mmmh?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:26 Sa 27.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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