Kartesisch in Polar < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Schreiben Sie folgende komplexe Zahlen jeweils in der Form a*e^ix.
1) 4i-3
2) [mm] \wurzel{-i} [/mm] |
Zu 1):
a) Ist meine Lösung [mm] 5e^{i(\pi/2+arctan(3/4))} [/mm] richtig?
Hab das Ergebnis in die trigonometrische Variante umgeschrieben. Komischerweise kommt da ungefähr 4 + 3i heraus - wenn die Werte im arctan jedoch umgedreht werden, 3 + 4i.
Hab doch mein phi unten und obenrechts ein Rechterwinkel? Also müstte doch tan(3/4) stimmen?
b) In meiner Lösung steht: [mm] e^\(\pi-iarctan(4/3)), [/mm] wenn dann müsste das doch [mm] e^{i(\pi-iarctan(4/3))} [/mm] heißen oder? Die allgemein Form ist doch e^(i*alpha)!
Zu 2):
Ist das richtig das ich [mm] \wurzel{-i} [/mm] umschreiben kann in [mm] \pm [/mm] i [mm] *\wurzel{i}?
[/mm]
Ist meine Lösung [mm] e^{(\pm\pi)/2} [/mm] richtig?
Wenn ich "rückwerts" rechne könnte das aber doch jede beliebige Zahl auf der imaginären Achse sein.... z.B auch i oder?
Hoffe ihr versteht in etwa was ich meine....
Und danke schon mal im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
deine Lösung zu a) ist ebenso falsch wie die genannte aus dem Buch. Deine Interpretation dieser Lösung allerdings, die sieht gut aus. Vielleicht hat dich verwirrt, dass hier der imaginäre Anteil vorne steht, aber es ist natürlich
4i-3=-3+4i
Bei der b) ist deine Lösung der Wurzel richtig, die Umformung in die Eulersche Form allerdings nicht. Bedenke mal folgendes: die Multiplikation einer komplexen Zahl mit der imaginären Einheit dreht diese Zahl um [mm] \pi/2 [/mm] im Gegenuhrzeigersinn.
Hilft dir das weiter?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Zu1):
Nein das hat mich nicht verwirrt, hab die Zahlen gleich umgetauscht.
Wie sieht die Lösung aus? Was ist an meiner falsch?
Zu2)
Versteh den Satz nicht ganz... ok, also meine Umformung ist richtig!? Dann ist doch der Realteil 0 und der Imaginäranteil [mm] \pm [/mm] i [mm] \wurzel{i}: [/mm] Also a=0 und b=1 (0+1(i [mm] \pm \wurzel{i}).
[/mm]
Dann ist r=1 und alpha/phi= [mm] \pm \pi/2 [/mm] oder?
|
|
|
| |
|
Hallo,
zu a)
das Argument einer komplexen Zahl berechnet sich zu
[mm] arg(z)=arctan(\frac{Im(z)}{Re(z)})
[/mm]
das hast du vertauscht.
zu b)
[mm] i*\wurzel{i} [/mm] ist sicherlich kein Imaginärteil. Ich habe dir also leider vorhin vorschnell und fälschlicherweise die Richtigkeit deiner Lösung bestätigt. Wenn du mit dem Wurzelziehen noch nicht so vertraut bist, dann setzte doch mal so an:
-i=z*z=(x+yi)*(x+yi)
Dann Ausmiltiplizieren und durch Koeffizientenvergleich lösen.
Für das Argument gilt dann das gleiche wie bei a).
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Sry wegen der vielen Fragerei, aber mir sind nochn paar Sachen unklar :)
Zu 1):
ist das generell so, dass sich alpha mit arctan(im(z)/re(z)) berechnet?
Wenn ich mir das nämlich mit einer grafischen Darstellung verdeutliche, dann ist doch alpha = arctan(3/4)?
Die Gleichung lautet also [mm] 5e^{\pi/2+arctan(4/3)?
Zu 2}:
[/mm]
[mm] i\wurzel{i} [/mm] ist nicht der Imaginärteil, aber 1? --> [mm] 1*(i\wurzel{i}).
[/mm]
Steh grad iwie aufm Schlauch, wenn ich deine Rechnung nehme, steht doch da:
-i = z*z = (x+yi) * (x+yi) --> [mm] (0+\wurzel{-i})*(0+\wurzel{-i}).....
[/mm]
Könnt ich nicht das r mit [mm] \wurzel{o^(2)+1^(2)} [/mm] berechnen?
Danke für deine Geduld!
|
|
|
| |
|
Hallo,
zu a) schaue dir nochmal die Definition der Tangensfunktion an...
zu b)
[mm] (x+yi)^2=x^2+2xyi-y^2=-i
[/mm]
Daraus bekommst du ein nichtlineares Gleichungssystem für x und y, dessen Lösungsmenge dir die beiden Lösungen der Wurzel in kartesischer Form liefert. Oder du machst dir mal klar, was eine Quadratwurzel mit einer komplexen Zahl geometrisch macht.
Man muss beim Rechnen im Komplexen viel mehr darüber nachdenken, was man eigentlich tut. Die Dinge sind hier nicht so einfach wie im Reellen, und vor allem die ganzen Zusammenhänge zur Geometrie und zur Trigonometrie solltest du dir immer wieder klarmachen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Nochmal zu a):
Hab zur Verdeutlichung ein Bild hochgeladen.
Vlt. ist es besser verständlich, wo der Fehler liegt....
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:48 Do 19.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Cyantific!
Du musst schon darauf achten bzw. berücksichtigen, in welchem Quadranten der Gauß'schen Zahlenebene Deine komplexe Zahl liegt.
Im 2. Quadranten (d.h. [mm]a \ < \ 0 \ \ \text{ und } \ \ b \ \ge \ 0[/mm] ) gilt:
[mm]\varphi \ = \ \pi+\arctan\left(\bruch{b}{a}\right)[/mm]
Siehe dazu auch ![[]](/images/popup.gif) hier.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo,
konnte mich gestern mit der Aufgabe nicht mehr beschäftigen.
Zu 1):
Der letzte Post von loddar verwies darauf, dass ich den 2.Quadranten beachten muss und ich die Formel phi= [mm] \pi [/mm] + arctan(b/a) (Dreieck 2)anwenden solle.
In meiner Zeichnung [Dateianhang nicht öffentlich] kann ich das auch nachvollziehen, ich könnte doch aber genauso gut phi mit [mm] \pi/2 [/mm] + arctan(a/b) berechnen (Dreieck1), so dass mein phi = [mm] \pi/2 [/mm] + arctan(3/4) ist. Oder was ist daran falsch?
Zu 2):
könnt ihr mir DIE Lösung nennen, da bis jetzt nur gesagt wurde wie ich wurzeln ziehe.
Danke im Voraus!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Formel
wandle in Polarform um, und dann wieder in Normalform und schaue wie der Winkel auseinanderliegt. So leitet man auch die Formeln her!
du kannst immer in Uhrzeiger und im Gegenuhrzeigersinn den Winkel anpassen, man nimmt die Richtung in der der Winkel geringer ist!
> so dass mein phi, kann man das auch so machen
Ja
> Lösung
$\sqrt{-i}=\pm e^{\frac{3\pi i}{4}$
Gruss
kushkush
|
|
|
|
