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| Aufgabe | | Es seien [mm] G_1 [/mm] ,.. [mm] G_n [/mm] Gruppen.Beweisen SIe dass [mm] G_1 \times [/mm] .. [mm] \times G_N [/mm] mit der Verknüpfung [mm] (a_1,..,a_n) (b_1,..,b_n)=(a_1 b_1,.., a_n b_n) [/mm] eine Guppe ist. |
Hallo,
Ich habe alles gezeigt außer die Assoziativität.
[mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in G_1 \times [/mm] .. [mm] \times G_N [/mm]
[mm] ((a_1 [/mm] ,..., [mm] a_n) (b_1 [/mm] ,.. [mm] b_n) [/mm] ) [mm] (c_1,..,c_n)= (a_1 [/mm] ,..., [mm] a_n) ((b_1 [/mm] ,.. [mm] b_n) (c_1,..,c_n))
[/mm]
Stimmt es dass ich die obere Aussage zeigen muss?
Liebe Grüße
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> Es seien [mm]G_1[/mm] ,.. [mm]G_n[/mm] Gruppen.Beweisen SIe dass [mm]G_1 \times[/mm]
> .. [mm]\times G_N[/mm] mit der Verknüpfung [mm](a_1,..,a_n) (b_1,..,b_n)=(a_1 b_1,.., a_n b_n)[/mm]
> eine Guppe ist.
> Hallo,
> Ich habe alles gezeigt außer die Assoziativität.
> [mm]\forall[/mm] a,b,c [mm]\in G_1 \times[/mm] .. [mm]\times G_N[/mm]
> [mm]((a_1[/mm] ,..., [mm]a_n) (b_1[/mm] ,.. [mm]b_n)[/mm] ) [mm](c_1,..,c_n)= (a_1[/mm] ,...,
> [mm]a_n) ((b_1[/mm] ,.. [mm]b_n) (c_1,..,c_n))[/mm]
> Stimmt es dass ich die
> obere Aussage zeigen muss?
Hallo,
ja.
War das schon alles, was Du wolltest?
LG Angela
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| Aufgabe | | Es sei p eine Primzahk. beweisen Sie, dass [mm] \{a/p^n | a,n \in \IZ, n>= 0 \} [/mm] eine Untergruppe vo [mm] (\IQ, [/mm] +) |
Danke, ich wollte nur sicher gehen .
Ich habe noch eine Frage du der obigen Aufgabe.
ZuZeigen: [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \{a/p^n | a,n \in \IZ, n>= 0\} [/mm] gilt
[mm] xy^{-1} \in \{a/p^n | a,n \in \IZ, n>= \}
[/mm]
Nun verstehe ich nicht was es bedeutet wenn x [mm] \in \{a/p^n | a,n \in \IZ, n>=0\} [/mm] gilt ? Kann man dann x schreiben als x= [mm] a/p^n [/mm] oder wie?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Sa 20.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Nun verstehe
> ich nicht was es bedeutet wenn x [mm]\in \{a/p^n | a,n \in \IZ, n>=0\}[/mm]
> gilt ? Kann man dann x schreiben als x= [mm]a/p^n[/mm] oder wie?
Genau.
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x, y [mm] \in \{a/p^n | a,n \in \IZ, n>= \}
[/mm]
dann x= [mm] a/p_1^n [/mm] und y= [mm] b/p_2^n
[/mm]
x*y = [mm] a/p_1^n [/mm] * [mm] (b/p_2^n)^{-1} [/mm] = [mm] a/p_1^n [/mm] * [mm] (b^{-1}/(p_2^n)^{-1})= \frac{a b^{-1}}{p_1^n (p_2^n)^{-1}}
[/mm]
Darf ich überhaupt so rechnen?
Warum sollte a [mm] b^{-1} [/mm] eine ganze Zahl sein?
Ich verstehe diese (wahrscheinliche) Untegruppe nicht ganz...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Sa 20.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> x, y [mm]\in \{a/p^n | a,n \in \IZ, n>= \}[/mm]
> dann x= [mm]a/p_1^n[/mm]
> und y= [mm]b/p_2^n[/mm]
p ist eine feste Primzahl, n dagegen nicht fest.
Also haben x und y die Formen
[mm] $x=a/p^{n_1}$
[/mm]
[mm] $y=b/p^{n_2}$
[/mm]
für gewisse [mm] $a,b,n_1,n_2\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $n_1,n_2\ge0$.
[/mm]
Die Gruppenverknüpfung von [mm] $\IQ$ [/mm] ist die Addition, nicht die Multiplikation. Also ist x+(-y) zu betrachten anstelle von [mm] $x\cdot y^{-1}$.
[/mm]
> Ich verstehe diese (wahrscheinliche) Untegruppe nicht
> ganz...
Nehmen wir mal das Beispiel p=3. Dann gehören alle Bruchzahlen, die sich mit einer 3er-Potenz im Nenner schreiben lassen, zur Untergruppe, z.B.
[mm] $0=\bruch0{3^0}, 1=\bruch1{3^0}, -1=\bruch{-1}{3^0}, 2=\bruch2{3^0},\ldots$
[/mm]
[mm] $\bruch13, -\bruch13, \bruch23, -\bruch23, \bruch43,\ldots$
[/mm]
[mm] $\bruch19, -\bruch19, \bruch29, -\bruch29, \bruch49,\ldots,\bruch{10}9,\ldots$
[/mm]
[mm] $\bruch1{27},\ldots$
[/mm]
[mm] $\ldots$
[/mm]
Nicht zur Untergruppe gehören dagegen die Bruchzahlen, die in gekürzter Form einen Primfaktor ungleich 3 im Nenner haben, z.B.
[mm] $\bruch12, \bruch16, \bruch{14}{55}\ldots$.
[/mm]
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Danke nun verstehe ich das Bsp. um einiges besser.
Ich bezeichne die Menge als K.
ZuZeigen: [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] K gilt x+(-y) [mm] \in [/mm] K
> [mm] x=a/p^{n_1} [/mm] $
> [mm] y=b/p^{n_2} [/mm] $
> für gewisse $ [mm] a,b,n_1,n_2\in\IZ [/mm] $ mit $ [mm] n_1,n_2\ge0 [/mm] $.
x+(-y)=x-y= [mm] a/p^{n_1} [/mm] - [mm] b/p^{n_2} [/mm] = [mm] \frac{ap^{n_2}+bp^{n_1}}{p^{n_1}p^{n_2}} [/mm] = [mm] \frac{ap^{n_2}+bp^{n_1}}{(pp)^{n_1 +n_2}} [/mm] = [mm] \frac{ap^{n_2}+bp^{n_1}}{(p)^{2n_1 +2n_2}}
[/mm]
da [mm] n_1 \ge [/mm] 0 und [mm] n_2 \ge [/mm] 0 ist [mm] 2n_1 [/mm] + [mm] 2n_2 \ge [/mm] 0
und [mm] p^{n_2}+bp^{n_1} \in \IZ
[/mm]
also [mm] \frac{ap^{n_2}+bp^{n_1}}{(pp)^{2n_1 +2n_2}} \in [/mm] K
Stimmt das?
Nun ist noch zuzeigen K [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Ja z.B [mm] \IZ \in [/mm] K, wenn n=0
Passt das ?
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Sa 20.10.2012 | | Autor: | theresetom |
Vielen lieben dank !!! ;)
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