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Hallo Forum,
ich bräuchte mal eueren Rat. Es geht um die Gleichung des Kegels:
[mm] (x-x_{0})*a=|x-x_{0}|*|a|*cos \alpha
[/mm]
Die Formel ist mir auch klar, jetzt geht es darum das die Zylinderachse mit der z-Achse zusammen fällt. In meinen Aufzeichnungen steht es zwar nicht, aber ich denke, dass die Spitze des Kegels im Koordinatenursprung liegt. Folgende Formel steht in meinen Aufzeichnungen:
[mm] x*a=|x|*cos\alpha
[/mm]
Ich habe mir allerdings folgende hergeleitet:
[mm] x*a=|x|*|a|*cos\alpha
[/mm]
Wo liegt denn jetzt der Fehler? Ich habe leider im Netz nichts gefunden, was mir hilft. Ich hoffe, jemand kann mir einen Tip geben?!
Lieben Gruß und schönes WE
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> Hallo Forum,
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> ich bräuchte mal eueren Rat. Es geht um die Gleichung des
> Kegels:
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> [mm](x-x_{0})*a=|x-x_{0}|*|a|*cos \alpha[/mm]
>
> Die Formel ist mir auch klar, jetzt geht es darum das die
> Zylinderachse mit der z-Achse zusammen fällt. In meinen
> Aufzeichnungen steht es zwar nicht, aber ich denke, dass
> die Spitze des Kegels im Koordinatenursprung liegt.
> Folgende Formel steht in meinen Aufzeichnungen:
>
> [mm]x*a=|x|*cos\alpha[/mm]
>
> Ich habe mir allerdings folgende hergeleitet:
>
> [mm]x*a=|x|*|a|*cos\alpha[/mm]
>
> Wo liegt denn jetzt der Fehler? Ich habe leider im Netz
> nichts gefunden, was mir hilft. Ich hoffe, jemand kann mir
> einen Tip geben?!
>
> Lieben Gruß und schönes WE
Hallo Blümchen,
in deiner Kegelgleichung steht a für einen Richtungsvektor
der Kegelachse. Falls [mm] x_0=0 [/mm] (Spitze im Ursprung), wird aus
der gegebenen Formel deine eigene. Wenn man dann
(sinnvollerweise) für den Richtungsvektor in z-Richtung
den Vektor [mm] a=\vec{e}_z=(0/0/1) [/mm] nimmt, dann ist dessen Betrag
ohnehin gleich 1 und man darf dann den Faktor |a|
ungestraft weglassen - aber eben nur dann. Ich würde
den Faktor jedenfalls stehen lassen, bis a konkret
eingesetzt wird.
LG
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Oh danke,
vielen Dank. Jetzt ist mir das auch klar.
Hat mir wirklich geholfen.
Schönes WE
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Hallo,
jetzt habe ich doch nochmal ne Frage. Und zwar bin ich jetzt schon viel weiter gekommen und möchte mir nun diese Formel herleiten:
[mm] f(\alpha,r,x)=x^2+y^2-(r-z*tan(\alpha/2))^2=0
[/mm]
mich stört ein wenig das r. Folgende Formel habe ich herausbekommen:
[mm] f(\alpha,r,x)=x^2+y^2-(z*tan(\alpha/2))^2=0
[/mm]
aber wie bekomme ich jetzt dieses r dazu??? Weiß da vielleicht jemand etwas?
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> Hallo,
> jetzt habe ich doch nochmal ne Frage. Und zwar bin ich
> jetzt schon viel weiter gekommen und möchte mir nun diese
> Formel herleiten:
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> [mm]f(\alpha,r,x)=x^2+y^2-(r-z*tan(\alpha/2))^2=0[/mm]
>
> mich stört ein wenig das r. Folgende Formel habe ich
> herausbekommen:
>
> [mm]f(\alpha,r,x)=x^2+y^2-(z*tan(\alpha/2))^2=0[/mm]
>
> aber wie bekomme ich jetzt dieses r dazu??? Weiß da
> vielleicht jemand etwas?
Mit dem r ist bestimmt gemeint: [mm] r=\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
(wegen der Rotationssymmetrie des Kegels bezüglich
der z-Achse ist dies eine geeignete Hilfsvariable).
Ich möchte dich noch darauf hinweisen, dass der Winkel [mm] \alpha
[/mm]
in diesen neuen Formeln nicht dasselbe ist wie das [mm] \alpha
[/mm]
in den Formeln deiner ursprünglichen Anfrage !
(Zuerst war es der Winkel zwischen Achse und Mantellinie,
jetzt soll es offenbar der "ganze" Öffnungswinkel zwischen
zwei gegenüberliegenden Mantellinien sein)
LG Al-Chw.
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Hallo,
> Mit dem r ist bestimmt gemeint: [mm]r=\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
> (wegen der Rotationssymmetrie des Kegels bezüglich
> der z-Achse ist dies eine geeignete Hilfsvariable).
Ja, also es geht dabei um den Radius. Ganz klar ist mir dennoch nicht, wie ich mir die Formel herleiten kann, bzw. sie sich erklärt.
>
> Ich möchte dich noch darauf hinweisen, dass der Winkel
> [mm]\alpha[/mm]
> in diesen neuen Formeln nicht dasselbe ist wie das [mm]\alpha[/mm]
> in den Formeln deiner ursprünglichen Anfrage !
> (Zuerst war es der Winkel zwischen Achse und Mantellinie,
> jetzt soll es offenbar der "ganze" Öffnungswinkel zwischen
> zwei gegenüberliegenden Mantellinien sein)
Uppps, ja das ist ein Fehler meinerseits. Sollte eigentlich nur [mm] \alpha [/mm] dort stehen. Sorry.
LG
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> > Mit dem r ist bestimmt gemeint: [mm]r=\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
> > (wegen der Rotationssymmetrie des Kegels bezüglich
> > der z-Achse ist dies eine geeignete Hilfsvariable).
>
> Ja, also es geht dabei um den Radius. Ganz klar ist mir
> dennoch nicht, wie ich mir die Formel herleiten kann, bzw.
> sie sich erklärt.
Hallo Bluemchen,
Man kann die Kegelgleichung auch ganz unabhängig
von deinem ersten Ansatz herleiten, indem man von
einer Mantellinie ausgeht und diese um die z-Achse
rotieren lässt. Betrachten wir zuerst ein r-z-Koordi-
natensystem (r nach rechts, z nach oben) und darin
eine Mantellinie durch den Nullpunkt nach rechts oben,
welche mit der z-Achse den Winkel [mm] \alpha [/mm] einschliesst.
Für einen beliebigen Punkt auf dieser Geraden gilt
[mm] $\bruch{r}{z}\ [/mm] =\ [mm] tan(\alpha)$ (\alpha [/mm] konstant)
(mach dir dies anhand einer Skizze klar !)
Eigentlich ist dies schon eine Kegelgleichung (wenn
man noch die Rotationssymmetrie bedenkt). Um daraus
eine Gleichung für [mm] (x,y,z)\in\IR^3 [/mm] zu machen, muss man
nur noch r durch [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] ersetzen.
Den Zusammenhang zwischen der so entstehenden
und der ersten Kegelgleichung, die wir hatten (mit cos
statt tan) könnte man durch trigonometrische Umfor-
mungen belegen.
LG Al-Chw.
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Guten morgen,
sorry mir ist aber immer noch nicht ganz klar wie ich dann auf die Formel komme:
[mm] f(\alpha,r,x)=x^2+y^2-(r-z*tan\alpha)^2
[/mm]
> Man kann die Kegelgleichung auch ganz unabhängig
> von deinem ersten Ansatz herleiten, indem man von
> einer Mantellinie ausgeht und diese um die z-Achse
> rotieren lässt. Betrachten wir zuerst ein r-z-Koordi-
> natensystem (r nach rechts, z nach oben) und darin
> eine Mantellinie durch den Nullpunkt nach rechts oben,
> welche mit der z-Achse den Winkel [mm]\alpha[/mm] einschliesst.
> Für einen beliebigen Punkt auf dieser Geraden gilt
>
> [mm]\bruch{r}{z}\ =\ tan(\alpha)[/mm] [mm](\alpha[/mm] konstant)
>
> (mach dir dies anhand einer Skizze klar !)
okay, das ist mir klar, habe ich auch schön aufgezeichnet  .
> Eigentlich ist dies schon eine Kegelgleichung (wenn
> man noch die Rotationssymmetrie bedenkt). Um daraus
> eine Gleichung für [mm](x,y,z)\in\IR^3[/mm] zu machen, muss man
> nur noch r durch [mm]\wurzel{x^2+y^2}[/mm] ersetzen.
So, jetzt habe ich:
[mm] \bruch{r}{z}=tan\alpha [/mm] und [mm] r=\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
Diese beiden Formel bringe ich zusammen und es ensteht:
[mm] f(\alpha,r,x)=x^2+y^2-(z*tan\alpha)^2 [/mm]
> Den Zusammenhang zwischen der so entstehenden
> und der ersten Kegelgleichung, die wir hatten (mit cos
> statt tan) könnte man durch trigonometrische Umfor-
> mungen belegen.
Genau, ich habe die Herleitung eben von der ersten Formel mit cos bis zu der jetzt mit tan gemacht und auch verstanden.
Aber wie gesagt, geht es mir jetzt darum, wie ich die folgende Gleichung herleite:
[mm] f(\alpha,r,x)=x^2+y^2-(r-z*tan\alpha)^2
[/mm]
weil dort ja das r (also der Radius) nochmal zusätzlich vorkommt, und wie ich darauf komme, verstehe ich nicht.
Trotzdem ersteinmal danke für deine Mühe und Hilfe.
Viele Grüße
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> [mm]f(\alpha,r,x)=x^2+y^2-(r-z*tan\alpha)^2[/mm]
> [mm]f(\alpha,r,x)=x^2+y^2-(z*tan\alpha)^2[/mm]
Hallo,
ich denke nicht, daß Du von einem aufs andere kommen kannst:
es wäre dann doch
[mm] x^2+y^2-(r-z*tan\alpha)^2=x^2+y^2-(z*tan\alpha)^2,
[/mm]
also
[mm] (r-z*tan\alpha)^2=(z*tan\alpha)^2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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>
> > [mm]f(\alpha,r,x)=x^2+y^2-(r-z*tan\alpha)^2[/mm]
>
> > [mm]f(\alpha,x)=x^2+y^2-(z*tan\alpha)^2[/mm]
> ich denke nicht, daß Du von einem aufs andere kommen
> kannst:
>
> es wäre dann doch
>
> [mm]x^2+y^2-(r-z*tan\alpha)^2=x^2+y^2-(z*tan\alpha)^2,[/mm]
>
> also
>
> [mm](r-z*tan\alpha)^2=(z*tan\alpha)^2.[/mm]
Hi.
Ja klar, das wäre wohl nicht so einfach! Aber irgendwie muss man sich doch erklären können, wie dieser Radius noch zusätzlich dazu kommt. Vielleicht ist das ja auch eine komplett neue Aufstellung der Formel. Es geht mir darum, zu wissen, wie ich zu dieser Formel komme, dh. wie ich sie begründen kann, dass da das r noch vorkommt.
Gruß
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> >
> > > [mm]f(\alpha,r,x)=x^2+y^2-(r-z*tan\alpha)^2[/mm]
> >
> > > [mm]f(\alpha,x)=x^2+y^2-(z*tan\alpha)^2[/mm]
>
> > ich denke nicht, daß Du von einem aufs andere kommen
> > kannst:
> >
> > es wäre dann doch
> >
> > [mm]x^2+y^2-(r-z*tan\alpha)^2=x^2+y^2-(z*tan\alpha)^2,[/mm]
> >
> > also
> >
> > [mm](r-z*tan\alpha)^2=(z*tan\alpha)^2.[/mm]
> Hi.
> Ja klar, das wäre wohl nicht so einfach! Aber irgendwie
> muss man sich doch erklären können, wie dieser Radius noch
> zusätzlich dazu kommt. Vielleicht ist das ja auch eine
> komplett neue Aufstellung der Formel. Es geht mir darum, zu
> wissen, wie ich zu dieser Formel komme, dh. wie ich sie
> begründen kann, dass da das r noch vorkommt.
>
> Gruß
Hallo,
wenn x,y,z,r und [mm] \alpha [/mm] in Deinen beiden Formeln dasselbe bedeuten, dann kommst Du nicht von einer zur anderen.
Das ist doch rein rechnerisch klar.
Ob die wirklich dasselbe bedeuten in beiden Formeln, mußt Du prüfen.
Wo kommt denn die Formel mit dem zusätzlichen r her?
Möglicherweise ist ein Fehler im Buch. 0der gibt es Verwirrungen mit dem Winkel [mm] \alpha? [/mm] Irgendwann spukte ja auch schon der Halbwinkel rum im Thread.
Dies sind die Stellen, wo die Überlegungen ansetzen können. Einfach umformen geht nicht.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
>
> wenn x,y,z,r und [mm]\alpha[/mm] in Deinen beiden Formeln dasselbe
> bedeuten, dann kommst Du nicht von einer zur anderen.
>
> Das ist doch rein rechnerisch klar.
Ja das ist klar.
> Ob die wirklich dasselbe bedeuten in beiden Formeln, mußt
> Du prüfen.
Ja bedeutet dasselbe.
> Wo kommt denn die Formel mit dem zusätzlichen r her?
Aus einem Buch, aber die Formel ist korrekt. Wobei...
> Möglicherweise ist ein Fehler im Buch. 0der gibt es
> Verwirrungen mit dem Winkel [mm]\alpha?[/mm] Irgendwann spukte ja
> auch schon der Halbwinkel rum im Thread.
...dort vom kompletten Öffnungswinkel die Rede ist, der mit [mm] \alpha [/mm] bezeichnet ist und ich habe immer mit dem halben gerechnet, den ich [mm] \alpha [/mm] genannt habe. Da könnte vielleicht das Problem liegen, oder?
Also dort heißen die Formeln:
[mm]f(\alpha,x)=x^2+y^2-(z*tan(\alpha/2))^2[/mm]
[mm]f(\alpha,r,x)=x^2+y^2-(r-z*tan(\alpha/2))^2[/mm]
> Dies sind die Stellen, wo die Überlegungen ansetzen können.
> Einfach umformen geht nicht.
Hatte eben auch ne Formel im Netz gefunden, dachte vielleicht mit der gehts:
[mm] x^2+y^2=\bruch{r^2}{h^2}*(h-z)^2
[/mm]
aber bisher bin ich auch nicht zu dem oberen Ergebnis gekommen.
Vielen Dank aber für deine Mühe.
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Hallo Bluemchen,
du hast bisher stets angenommen, dass die Kegel-
spitze im Ursprung liegen soll. Möglicherweise war
aber ein Kegel gemeint, der seinen Grundkreis
vom Radius r in der x-y-Ebene und seine Spitze
im Punkt S(0/0/h) auf der positiven z-Achse hat !
Eben so, wie man üblicherweise einen Kegel ins
Koordinatensystem setzt.
LG Al-Chw.
Nachtrag:
Ich hab's durchgerechnet: Mit r = Grundkreisradius
und [mm] \blue{\varepsilon} [/mm] = halber Öffnungswinkel komme ich auf die
Kegelgleichung:
[mm] $\blue{ x^2+y^2-(r-z*tan\, \varepsilon)^2\ =\ 0}$
[/mm]
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Echt? Cool, dann muss ich doch nochmal rumprobieren.
Bin auch dabei das zu rechnen, aber irgendwie habe ich da ein Fehler drin. Bin bisher noch nicht auf das Ergebnis gekommen. Ich probier nochmal ein bisschen, vielleicht schaff ich es ja. Ansonsten schreib ich mal meine Ansätze hier ein, und dann kannst du mir vielleicht behilflich sein?
Gruß
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Hi,
also ich komme irgendwie nicht auf das Ergebnis. Mein Ansatz wäre:
[mm] x^2+y^2=\bruch{R^2}{h^2}*(h-z)^2 [/mm]
d.h.
[mm] \bruch{h}{R}=\bruch{h-z}{r}
[/mm]
wobei R der Radius des Kegels in der xy-Ebene (bei z=0) ist und r, der Radius in der Höhe eines beliebigen Punktes. Dafür könnte man dann auch [mm] r=\wurzel{x^2+y^2} [/mm] schreiben.
Stimmt das? dann hätte ich es nämlich auch raus.
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> Hi,
> also ich komme irgendwie nicht auf das Ergebnis. Mein
> Ansatz wäre:
>
> [mm]x^2+y^2=\bruch{R^2}{h^2}*(h-z)^2[/mm]
>
> d.h.
>
> [mm]\bruch{h}{R}=\bruch{h-z}{r}[/mm]
>
> wobei R der Radius des Kegels in der xy-Ebene (bei z=0) ist
> und r, der Radius in der Höhe eines beliebigen Punktes.
> Dafür könnte man dann auch [mm]r=\wurzel{x^2+y^2}[/mm] schreiben.
>
> Stimmt das? dann hätte ich es nämlich auch raus.
Ja, klar, so stimmt es auch. Nur musst du beachten,
dass dein neues groß geschriebenes R jetzt für das
steht, was in der Formel, die zuerst gewisse Verständ-
nisprobleme bereitet hat, mit klein r bezeichnet war,
nämlich für den Radius des Schnittkreises der Kegel-
fläche mit der x-y-Ebene.
O.K., dann genießen wir von jetzt an das schöne Wochenende !
LG Al
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Hi,
> Ja, klar, so stimmt es auch. Nur musst du beachten,
> dass dein neues groß geschriebenes R jetzt für das
> steht, was in der Formel, die zuerst gewisse Verständ-
> nisprobleme bereitet hat, mit klein r bezeichnet war,
> nämlich für den Radius des Schnittkreises der Kegel-
> fläche mit der x-y-Ebene.
Ja, da hast du natürlich wieder Recht. Ein bisschen ungeschickt umbenannt.
> O.K., dann genießen wir von jetzt an das schöne Wochenende
> !
Nochmal vielen Dank für die Hilfe.
Gruß
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