Kegelparametrisierung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:00 So 07.04.2013 | | Autor: | kaenzign |
Hallo miteinander
Im folgenden soll das Volumen eines Kegels berechnet werden.
Gegeben sei folgender Kegel (auf dem Kopf, Spitze im Nullpunkt):
(1): [mm] x^{2}+y^{2} \le z^{2} [/mm] mit 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] h
Die Parametrisierung soll in Zylinderkoordinaten erfolgen.
Der Bereich von z ist gegeben, den Bereich des Winkels [mm] \alpha [/mm] ist 0 bis 2pi.
Und aus (1) kann man die folgende Bedingung für r ableiten:
[mm] r^{2} \le z^{2}, [/mm] woraus folgt 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] z.
Daraus kann man ja nun das Integral aufstellen, welches wie folgt aussieht:
[mm] \integral_{\alpha=0}^{2pi}\integral_{z=0}^{h}\integral_{r=0}^{z}{r drdzd\alpha}
[/mm]
Wenn ich das ausrechne komme ich aber auf [mm] pi/3*h^{3}, [/mm] was ja nicht der allgemeinen Formel des Kegelvolumens entspricht.
Wo liegt der Fehler? (Die Parametrisierung stammt aus dem gelben Rechenbuch)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 So 07.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo miteinander
> Im folgenden soll das Volumen eines Kegels berechnet
> werden.
> Gegeben sei folgender Kegel (auf dem Kopf, Spitze im
> Nullpunkt):
> (1): [mm]x^{2}+y^{2} \le z^{2}[/mm] mit 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm] h
> Die Parametrisierung soll in Zylinderkoordinaten
> erfolgen.
> Der Bereich von z ist gegeben, den Bereich des Winkels
> [mm]\alpha[/mm] ist 0 bis 2pi.
> Und aus (1) kann man die folgende Bedingung für r
> ableiten:
> [mm]r^{2} \le z^{2},[/mm] woraus folgt 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] z.
> Daraus kann man ja nun das Integral aufstellen, welches
> wie folgt aussieht:
>
> [mm]\integral_{\alpha=0}^{2pi}\integral_{z=0}^{h}\integral_{r=0}^{z}{r drdzd\alpha}[/mm]
>
> Wenn ich das ausrechne komme ich aber auf [mm]pi/3*h^{3},[/mm] was
> ja nicht der allgemeinen Formel des Kegelvolumens
> entspricht.
In Deinem Fall aber schon, denn Dein Kegel hat die Höhe h und h ist auch noch der Radius des "Grundkreises"
FRED
> Wo liegt der Fehler? (Die Parametrisierung stammt aus dem
> gelben Rechenbuch)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 So 07.04.2013 | | Autor: | kaenzign |
Wie kann ich dann einen allgemeinen Kegel Parametrisieren? So, dass ich dann auf die allgemeine Formel komme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 So 07.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Wie kann ich dann einen allgemeinen Kegel Parametrisieren?
> So, dass ich dann auf die allgemeine Formel komme?
Für einen Kegel mit dem Radius R und der Höhe H gilt:
$ [mm] \integral_{\alpha=0}^{2\pi}\integral_{h=0}^{H}\integral_{r=0}^{R-R\cdot\frac{h}{H}}{r drdhd\alpha} [/mm] $
Die Beziehung für die Integrationsgrenze bekommst du aus dem Strahlensatz, es gilt:
[mm] \frac{h}{H}=\frac{r}{R}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 So 07.04.2013 | | Autor: | kaenzign |
Warum ist die Integrationsgrenze [mm] R-R\cdot\frac{h}{H} [/mm] und nicht einfach [mm] R\cdot\frac{h}{H}?
[/mm]
EDIT:
Habe gerade beide Fälle nachgerechnet und komme bei beiden auf das selbe(richtige) Ergebnis. Warum ist das so?
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> Warum ist die Integrationsgrenze [mm]R-R\cdot\frac{h}{H}[/mm] und
> nicht einfach [mm]R\cdot\frac{h}{H}?[/mm]
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> EDIT:
> Habe gerade beide Fälle nachgerechnet und komme bei beiden
> auf das selbe(richtige) Ergebnis. Warum ist das so?
Weil es für das Volumen keine Rolle spielt, ob
man den Kegel auf seine Grundfläche oder auf
seine Spitze stellt.
Mach dir Skizzen für die beiden Möglichkeiten !
LG , Al-Chw.
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