Kegelschnitt Krümmungskreis < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Sa 18.06.2005 | | Autor: | neo2k |
Hi,
An folgender Aufgabe komme ich absolut nicht weiter:
Ich soll den Krümmungskreis im rechten und linken Scheitel bestimmen von der Form
g(w) = [mm] \bruch{1.4}{1-0.6\cos{(w)}}
[/mm]
Ich habe zu dieser Aufgabe keinerlei Ansatz gefunden, der mich zum Ergebnis geführt hat.
Für jegliche Ansätze wäre ich sehr dankbar.
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
MfG und vielen Dank :)
Neo2k
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:00 Sa 18.06.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Daniel,
Vielleicht kennst du die Formeln ja schon, aber ich schreib sie trotzdem einmal auf!
Die Krümmung [mm] \kappa [/mm] wird über folgende Formel berechnet:
[mm] \kappa(x)=\bruch{y''}{[1+(y')^{2}]^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
Den Krümmradius erhälst du dann über folgende Formel:
[mm] \rho(x)=\bruch{1}{|\kappa(x)|}
[/mm]
Eigentlich ist es nicht schwer, den Krümmungskreis zu berechnen, aber ich habe bei deiner Aufgabe keine Ahnung, an welcher Stelle x=? ich den Krümmungskreis bestimmen soll!
Aber vielleicht hast du ja eine Idee? ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]")
Viele Grüße
Fabian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 So 19.06.2005 | | Autor: | neo2k |
Hi,
Könnte es sein, dass man vielleicht unter rechter, linker Scheitel, einfach die beiden Brennpunkte bezeichnet? Dann wäre das x, das x des einen Brennpunktes :)
Kann das sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Mo 20.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was habt ihr denn bisher mit Ellipsen gemacht?
Die Darstellung die du hast ist die sog. Polardarstellung, d.h. g(w) gibt den Abstand von Einem Brennpunkt in Abfängigkeit vom Winkel w an.
Damit ist klar, wo die einen Scheitel liegen, nämlich da wo g am größten und am kleinsten ist! oder bei w=0 und [mm] \pi!
[/mm]
Die andere Achse der Ellipse liegt dann bei g*sin(w) maximal. Zeichne es auf.
So und nun musst du wissen, was ihr über Krümmungskreise von Ellipsen oder überhaupt über Krümmungskreise gemacht habt. Ohne das zu wissen, kann ich dir keinen Rat geben!
Der Rat meines Vorredners ist hier nicht zutreffend, weil die Ellipse ja nicht als y(x) gegeben ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Do 23.06.2005 | | Autor: | neo2k |
Hi,
Ja ich habe ja schon die Polardarstellung erechnet:
[mm] 0,36x^2-1,92x+y^2 [/mm] = 3,24
Danach habe ich, da die Ellipse auf ihre Brennpunkte auf der X-Achse hat, y=0 gesetzt.
Es ergeben sich die Scheitelpunkte
x1= -1,347
x2= 6,6805
NUn will ich mit der Formel den Krümmungskreis berechnen:
k = 1/r [mm] =\bruch{y''}{(1+y'^2)^{3/2}}
[/mm]
nur wie gesagt, ist die formel nicht y(x) gegeben. Was sollte ich nun machen?
a = x - [mm] \bruch{y'(1+y'^2)}{y''} [/mm] ; b = [mm] y+\bruch{1+y'^2}{y''}
[/mm]
Bei mir ist x dann der ereichnete Wer und y ist null oder?
MfG
[mm] \\ [/mm] Edit: Hier mal ein Versuch es zu lösen:
Berechnen sie den Krümmungskreis im linken Scheitel:
[mm] $r(\phi)=\frac{1,2}{1-0,8\cos{\phi}}$
[/mm]
Umrechnung in [mm] Polarkoordinaten:\\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] \begin{eqnarray*}
r(\phi)=\frac{1,2}{1-0,8\cos{\phi}} \cos{\phi}=\frac{x}{r} \\
r =\frac{1,2}{1-0,8\cos{\phi}} : r \\
1 = \frac{1,2}{(r-0,8x)} \\
r-0,8x = 1,2 \ \\
r= 1,2 +0.8x (...)^2 \quad \quad \quad\\
r^2= 1,44+1,92x+0.64x^2 \quad \quad \quad \\
x^2+y^2 =1,44+1,92x+0.64x^2 \quad \quad \quad \\
0,36x^2-1,92x+y^2 = 3,24 \quad \quad \quad \\
\end{eqnarray*} \\
[/mm]
Da die Brennpunkte der Ellipse auf der X-Achse liegen, sind ihre
Scheitel die Schnittpunkte mit der X-Achse. Demnach setzen wir $y=0$
[mm] \begin{eqnarray*}
x^2 - 5,33\bar{3}x - 9 =0\\
x_{1}=6,6805 \\
x_{2}=-1,34719\\
\end{eqnarray*}
[/mm]
Wir interessieren uns nur für den linken Schenkel, also benötigen
wir nur [mm] $x_{2}$.\\
[/mm]
Berechnung des [mm] Krümmungsradius:\\
[/mm]
[mm] \begin{center}
\begin{eqnarray*}
r =\frac{b^2}{b} = \frac{-1,347^2}{1,8} = -1,008005
\end{eqnarray*}
Da ein negativer Radius nicht sinnvoll wäre, nehmen wir den Betrag
von r. Es ergibt sich folgende Zeichnung:\\
\end{center}
[/mm]
Die Gleichung des Kreises würde also lauten: [mm] (x+0,36)^2+y^2 =1,008005^2
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Do 23.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Als Polardarstellung kenne ich: x=a*cos(t) y=b*sin(t) dabei liegt der Mittelpunkt der ellipse im Pkt (0,0)
Deine Darstellung ist die Darstellung der Entfernung zu einem Brennpunkt in abhängigkeit vom Winkel.
Wenn [mm] \Phi [/mm] =0 oder 180° [mm] bzw.\pi [/mm] ist hat man die 2 Scheitelpunkte. also r(0)=1,2/0,2=6;
[mm] r(\pi)=1,2/1,8=2/3 [/mm] die doppelte Achse 2a=6+2/3 a=10/3
die Werte in vertikaler Richtung sind [mm] y=r*sin(\Phi), [/mm] die 2. Achse ist bei ymax.
also findet man b indem man das maximum von [mm] r*sin\Phi [/mm] bestimmt.
[mm] y=\bruch{1,2*sin(\Phi)}{1-0,8cos(\Phi)} [/mm] nach [mm] \Phidifferenzieren [/mm] und 0 setzen gibt [mm] cos\Phi=0,8,=>sin\Phi=0,6 [/mm] und b=2 (nachrechnen!!)
Der Krümmungskreisradius ist rk= [mm] b^{2}/2a=4*3/20=0,6
[/mm]
ob du die Ellipse so schieben musst, dass der Brennpunkt im 0-Punkt liegt, weiss ich nicht. Wenn der Mittelpunkt im Nullpunkt liegt liegt der Kreismittelpunkt bei a-rk, wenn der Brennpunkt im Nullpunkt ligt musst du noch um [mm] e=\wurzel{a^{2}-b^{2}} [/mm] verschieben.
Soweit meine Rechnung! wenn du die Formel [mm] rk=b^{2}/a [/mm] kennst, brauchst du das ja nicht mit dem ganzen Ableitungen machen!!
Nun zu deiner Rechnung:
> Hi,
> Ja ich habe ja schon die Polardarstellung erechnet:
>
> [mm]0,36x^2-1,92x+y^2[/mm] = 3,24
>
> Danach habe ich, da die Ellipse auf ihre Brennpunkte auf
> der X-Achse hat, y=0 gesetzt.
>
> Es ergeben sich die Scheitelpunkte
> x1= -1,347
> x2= 6,6805
>
> NUn will ich mit der Formel den Krümmungskreis berechnen:
>
> k = 1/r [mm]=\bruch{y''}{(1+y'^2)^{3/2}}[/mm]
obige Gleichung könntest du nach y auflösen, aber ich halt sie für falsch!
>
>
> nur wie gesagt, ist die formel nicht y(x) gegeben. Was
> sollte ich nun machen?
>
> a = x - [mm]\bruch{y'(1+y'^2)}{y''}[/mm] ; b =
> [mm]y+\bruch{1+y'^2}{y''}[/mm]
Das versteh ich einfach nicht!
> Bei mir ist x dann der ereichnete Wer und y ist null oder?
[mm]\\[/mm] Edit: Hier mal ein Versuch es zu lösen:
> Berechnen sie den Krümmungskreis im linken Scheitel:
> [mm]r(\phi)=\frac{1,2}{1-0,8\cos{\phi}}[/mm]
>
> Umrechnung in [mm]Polarkoordinaten:\\[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\begin{eqnarray*}
r(\phi)=\frac{1,2}{1-0,8\cos{\phi}} \cos{\phi}=\frac{x}{r} \\
ich ver steh nicht ,wie du da drauf kommst aber es muss falsch sein, weil am End dasteht:r=\bruch{x}{r} !
r =\frac{1,2}{1-0,8\cos{\phi}} : r \\
1 = \frac{1,2}{(r-0,8x)} \\
r-0,8x = 1,2 \ \\
r= 1,2 +0.8x (...)^2 \quad \quad \quad\\
r^2= 1,44+1,92x+0.64x^2 \quad \quad \quad \\
x^2+y^2 =1,44+1,92x+0.64x^2 \quad \quad \quad \\
0,36x^2-1,92x+y^2 = 3,24 \quad \quad \quad \\
\end{eqnarray*} \\[/mm]
>
> Da die Brennpunkte der Ellipse auf der X-Achse liegen, sind
> ihre
> Scheitel die Schnittpunkte mit der X-Achse. Demnach setzen
> wir [mm]y=0[/mm]
> [mm]\begin{eqnarray*}
x^2 - 5,33\bar{3}x - 9 =0\\
x_{1}=6,6805 \\
x_{2}=-1,34719\\
\end{eqnarray*}[/mm]
Wenn das richtig wäre, dann wäre doch 2a der Abstand von x1 und x2 also etwa 8,02
> Wir interessieren uns nur für den linken Schenkel, also
> benötigen
> wir nur [mm]x_{2}[/mm][mm] .\\[/mm]
> Berechnung des [mm]Krümmungsradius:\\[/mm]
> [mm]\begin{center}
\begin{eqnarray*}
r =\frac{b^2}{b} = \frac{-1,347^2}{1,8} = -1,008005
\end{eqnarray*}
negative Zahlen quadriert werden positiv!!
Da ein negativer Radius nicht sinnvoll wäre, nehmen wir den Betrag
von r. Es ergibt sich folgende Zeichnung:\\
\end{center}[/mm]
>
> Die Gleichung des Kreises würde also lauten: [mm](x+0,36)^2+y^2 =1,008005^2[/mm]
folgerichtig.
Ich hoff, meine Kommentare helfen dir was. eigentlich gehts ja drum a und b zu bestimmen. der Erste Schreiber hat dich mit dem y''..... irregeführt!
Deine Fleissarbeit bewunder ich, wo deine Idee schiefgelaufen ist versteh ich nicht ganz.
Wenn du mit dem Brennpunkt im Nullpunkt dein [mm] r(\Phi) [/mm] verwendest gilt auch x=r [mm] cos\Phi [/mm] , y=r [mm] sin\Phi
[/mm]
[mm] x^{2}+y^{2}=(r(\Phi))^{2} [/mm] wenn du meine Methode nicht magst.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Do 23.06.2005 | | Autor: | neo2k |
Hi,
irgendwie ist der Mittelteil hier nicht so gut Lesbar, ich schreibe ihn nochmal:
[mm] cos{\phi}=\frac{x}{r}
[/mm]
[mm] r(\phi)=\frac{1,2}{1-0,8\cos{\phi}}
[/mm]
r [mm] =\frac{1,2}{1-0,8\cos{\phi}}
[/mm]
1 = [mm] \frac{1,2}{(r-0,8x)}
[/mm]
r-0,8x = 1,2
r= 1,2 +0.8x [mm] (...)^2
[/mm]
[mm] r^2= 1,44+1,92x+0.64x^2 [/mm]
[mm] x^2+y^2 =1,44+1,92x+0.64x^2 [/mm]
[mm] 0,36x^2-1,92x+y^2 [/mm] = 3,24
Aber ich habe noch eine andere Frage, wir müssen immer die Formel begründen können, leider steht diese Formel [mm] b^2/a [/mm] in meiner Formelsammlung und mit den Ableitungen komme ich nicht weiter, da sie super kompliziert sind.
Könnte mir jemande die Begründung dafür geben?
Google liefert leider nicht das erhoffte ergebnis :(
Deinen Weg, den du vorschlägst verstehe ich leider nicht, aber ich interessiere mich sehr für ihn, könntest du ihn einmal für mich erläutern *brett*vorm*kopf*
MfG
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Fr 24.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Neo
> [mm]cos{\phi}=\frac{x}{r}[/mm]
> [mm]r(\phi)=\frac{1,2}{1-0,8\cos{\phi}}[/mm]
> r [mm]=\frac{1,2}{1-0,8\cos{\phi}}[/mm]
> 1 = [mm]\frac{1,2}{(r-0,8x)}[/mm]
> r-0,8x = 1,2
> r= 1,2 +0.8x [mm](...)^2[/mm]
> [mm]r^2= 1,44+1,92x+0.64x^2[/mm]
> [mm]x^2+y^2 =1,44+1,92x+0.64x^2[/mm]
bis hierhin alles richtig!
> [mm]0,36x^2-1,92x+y^2[/mm] = 3,24
falsch! woher die 3,24 statt 1,44
dann ist auch die qu- Gl. falsch und damit x1 und x2
Aber sonst ist dein Vorgehen richtig.
>
> Aber ich habe noch eine andere Frage, wir müssen immer die
> Formel begründen können, leider steht diese Formel [mm]b^2/a[/mm] in
> meiner Formelsammlung und mit den Ableitungen komme ich
> nicht weiter, da sie super kompliziert sind.
> Könnte mir jemande die Begründung dafür geben?
Es gibt 2 Möglichkeiten. Du nimmst die einfachste Form der Ellipsengleichung
[mm] \bruch{x^{2}}{a^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{y^{2}}{b^{2}} [/mm] =1 Kennst du die? es ist die übliche Form, wenn der Nullpunkt in der Mitte der Ellipse ist.
( Deine El. kannst du durch quadratisch Ergänzung auf die Form [mm] \bruch{(x-e)^{2}}{a^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{y^{2}}{b^{2}} [/mm] =1 bringen, sie ist um das stück e verschoben)
nach y auggelöst: y = [mm] b*\wurzel{1-\bruch{x^{2}}{a^{2}}}
[/mm]
Diese Funktion hat bei x=a, y=0 eine senkrechte Tangente, d,h, die Ableitung existiert nicht, du kannst deshalb die Krümmung und damit den Krümmungsradius nicht einfach berechnen. Da die Ellipsengleichung aber symmetrisch in x und y ist (wenn man a und b vertauscht. berechnen wir einfach die Krümmung bei x=0. wenn man a und b vertauscht findet man dann auch die Krümmung im anderen Scheitel. (Wenn du lieber anders argumentierst, lös nach x auf, differenzier nach y un bestimm die krümmung bei y=0, Rechnung ist dieselbe, statt y',y'' in der Formel x', x''einsetzen. oder du taufst die Namen um!)
Die erste Ableitung ist noch einfach: [mm] y'=b*(1-\bruch{x^{2}}{a^{2}})^{-\bruch{1}{2}})*(-2*\bruch{x}{a^{2}} [/mm] ==> y'(0)=0
2. Ableitung ist wegen der Produktregel eins blöder. du musst aber den Ausdruck nicht zusammenfassen oder vereinfachen, sondern direkt x=0 einsetzen, dann hast du [mm] y''(0)=b/a^{2} [/mm] und wegen y'(0)=0
[mm] rk=a^{2}/b [/mm] entsprechend für den anderen [mm] rk=b^{2}/a [/mm] du musst nur verfolgen, dass am Scheitelpunkt bei Achse b der erste rk der richtige ist bei a der zweite.
Natürlich könntest du auch deine Gleichung nach y bzw x auflösen, dann sind die Ableitungen was komplzierter. und da du ja ne allgemeine Formel für die Scheitelkrümmungskreis brauchst, ist es besser die mit ner einfachen Darstellung auszurechnen.
Ich hoff ich konnt dir helfen! Wenn du noch mehr über die Elipse brauchst, oder wissen willst, schreib noch mal!
Gruss leduart
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![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]"){kind=small}
