Kegelschnitt transformieren < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Fr 20.04.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich stehe gerade an bei einer Aufgabe.
Die Kegelschnittslinie : [mm] x^2+xy+y^2=17 [/mm] soll durch eine Drehung des Koordinatensys. auf Hauptachsenform gebracht werden und dann die neue Basis angeben werden.
Die Eigenwerte der Matrix sind ja [mm] \lambda_1=1/2 [/mm] und [mm] \lambda_2=3/2
[/mm]
Ev sind bei mir -2 und 2
Aber dann bin ich mir nicht mehr sicher was ich tun soll.Ich hab gelesen ich soll die Matrix die meine EV enthaltet orthonormieren
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Hallo racy90,
> Hallo,
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> Ich stehe gerade an bei einer Aufgabe.
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> Die Kegelschnittslinie : [mm]x^2+xy+y^2=17[/mm] soll durch eine
> Drehung des Koordinatensys. auf Hauptachsenform gebracht
> werden und dann die neue Basis angeben werden.
>
> Die Eigenwerte der Matrix sind ja [mm]\lambda_1=1/2[/mm] und
> [mm]\lambda_2=3/2[/mm]
>
> Ev sind bei mir -2 und 2
>
Das sind sie sicher nicht.
Die Eigenvektoren sind doch von der Form:[mm]\pmat{u \\ v}[/mm] mit [mm]u^{2}+v^{2} > 0[/mm]
> Aber dann bin ich mir nicht mehr sicher was ich tun
> soll.Ich hab gelesen ich soll die Matrix die meine EV
> enthaltet orthonormieren
Ja, das ist richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Fr 20.04.2012 | | Autor: | racy90 |
Wieso stimmen meine EV nicht?
Wenn ich [mm] \lambda_1=1/2 [/mm] in [mm] \pmat{ 1-\lambda & 1/2 \\ 1/2 & 1-\lambda } [/mm] einsetze bekomme ich [mm] \pmat{ 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 }*\vektor{x \\ y}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
2.Zeile -1.Zeile ergibt [mm] \pmat{ 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 }*\vektor{x \\ y}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
1/2x=-1/2y Wenn ich nun für x=-2 und y=2 stimmt mein GLS
Ich könnte auch x=1 und y=-1 nehmen sollte ebenfalls stimmen oder habe ich hier einen denkfehler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Fr 20.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
niemand versteht dich wenn du sagst die Eigenvektoren sind -2 und 2 wenn du meinst ein Eigenvektor ist [mm] \vektor{-2 \\ 2}
[/mm]
der ist richtig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 So 22.04.2012 | | Autor: | racy90 |
Ich habe nun meine orthonormierten EV : [mm] \vektor{-1/\wurzel{2}\\ 1/\wurzel{2}} [/mm] und [mm] \vektor{1/\wurzel{2}\\ 1/\wurzel{2}} [/mm]
aber wie komme ich nun auf die Hauptachsenform bzw wie sieht meine neue Basis aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 So 22.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wiki unter Hauptachsentransformation hat das schon alles aufgeschrieben, oder es steht in dinem skript oder Buch!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 So 22.04.2012 | | Autor: | racy90 |
das verstehe ich aber nicht ganz
ich habe meine Matrix S die aus orthonormierten Eigenvektoren besteht
S= [mm] \pmat{ -1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2} }
[/mm]
[mm] S^{-1} =S^T =\pmat{ -1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2} }
[/mm]
und was soll ich dann tun
Weil auf Wikipedia steht ich soll A= [mm] SDS^{T} [/mm] berechnen und dann soll eingentlich schon die Hauptachsenform dastehen
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Hallo racy90,
> das verstehe ich aber nicht ganz
>
> ich habe meine Matrix S die aus orthonormierten
> Eigenvektoren besteht
>
> S= [mm]\pmat{ -1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2} }[/mm]
>
> [mm]S^{-1} =S^T =\pmat{ -1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2} }[/mm]
>
> und was soll ich dann tun
>
> Weil auf Wikipedia steht ich soll A= [mm]SDS^{T}[/mm] berechnen und
> dann soll eingentlich schon die Hauptachsenform dastehen
In Matrixschreibweise steht doch dann da:
[mm]\pmat{x & y}A\pmat{x \\ y}=17[/mm]
Setze jetzt die Transformation
[mm]\pmat{x \\ y}=S \pmat{u \\ v}[/mm]
in diese Gleichung ein.
Gruss
MathePower
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