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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Kegelschnitte
Kegelschnitte < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kegelschnitte: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:02 Mi 07.09.2011
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Aufgabe:  Bestimmen Sie , welche Kegelschnitte durch die folgenden algebraischen Gleichungen dargestellt werden. Bestimmen Sie Mittelpunkt und Scheitelpunkt.

a)  9x² + 16y² - 18x = 135 b) x² - 2x + 4y² + 8y - 2 = 0

c)        y² + 4 - x²   = 0 d) y² + x² + 4y - 2x  = 20

e)  2x² + 2y² =  6y - 12x f) 9y² + 24y + 4x²  - 4x = 127

Hinweis: Bringen Sie die Gleichungen durch quadratische Ergänzung auf die jeweilige Hauptform einer Kegelschnittgleichung.


Gegeben: Beginn der Lösung der Aufgabe zu Punkt a):

a) 9x² + 16y² - 18x = 135

9 (x² - 2x +/- 1) + 16 y² = 135

9 (x – 1)² + 16y² - 9 = 135

9 (x – 1)² + 16 (y – 0)²  = 144

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich kenne mich mit Kegelschnitten nicht aus und finde dazu auch nichts Passendes im Internet unter Google oder Scholar.Google.de. Daher möchte ich hier im Matheraum um Hilfe bitten. Vielen Dank!

        
Bezug
Kegelschnitte: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:10 Mi 07.09.2011
Autor: barsch

Hallo,


> Aufgabe:  Bestimmen Sie , welche Kegelschnitte durch die
> folgenden algebraischen Gleichungen dargestellt werden.
> Bestimmen Sie Mittelpunkt und Scheitelpunkt.
>  
> a)  9x² + 16y² - 18x = 135 b) x² - 2x + 4y² + 8y - 2 =
> 0
>  
> c)        y² + 4 - x²   = 0 d) y² + x² + 4y - 2x  = 20
>  
> e)  2x² + 2y² =  6y - 12x f) 9y² + 24y + 4x²  - 4x =
> 127
>  
> Hinweis: Bringen Sie die Gleichungen durch quadratische
> Ergänzung auf die jeweilige Hauptform einer
> Kegelschnittgleichung.
>  
>
> Gegeben: Beginn der Lösung der Aufgabe zu Punkt a):
>  
> a) 9x² + 16y² - 18x = 135
>  
> 9 (x² - 2x + 1 - 1) + 16 y² = 135
>  
> 9 (x – 1)² + 16y² - 9 = 135
>  
> 9 (x – 1)² + 16 (y – 0)²  = 144

welche Frage hast du denn konkret? Wie du vorgehen musst, scheinst du verstanden zu haben, denn die Aufgabe a) ist soweit korrekt (siehe kleine Korrektur oben (rot)). Ein letzter Schritt könnte noch folgen:

[mm] $9\cdot{(x-1)^2}+16\cdot{(y-0)^2}=12^2$ [/mm]

Nun kannst du Mittelpunkt und Radius ablesen:

M=(1;0) und r=12.



Al-Chwarizmi hat mich darauf aufmerksam gemacht, dass meine Antwort nicht ganz korrekt ist - Vielen Dank dafür. Ich zitiere jetzt einmal und hoffe, dass es für Al okay ist:

"es handelt sich hier nicht um einen Kreis, sondern um
eine Ellipse mit den Halbachsen a=4 (in x-Richtung)
und b=3 (in y-Richtung).

     $ \ [mm] 9\cdot{}(x-1)^2+16\cdot{}(y-0)^2\ [/mm] =\ 144 $      :144

     $ [mm] \frac{(x-1)^2}{16}+\frac{(y-0)^2}{9}\ [/mm] =\ 1 $"

Gruß
barsch


Bezug
                
Bezug
Kegelschnitte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:31 Mi 07.09.2011
Autor: Mathemurmel

Die vorgegebene Lösung stammt nicht von mir, sondern vom Dozenten.  Ich danke vielmals für die Fortsetzung der Lösung.  Warum teile ich durch 144, so daß "1" auf der rechten Seite steht? Wie behandele ich das entsprechend für Hyperbel und Parabel? Gibt es Literatur dazu im Internet?

Bezug
                        
Bezug
Kegelschnitte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:17 Mi 07.09.2011
Autor: barsch

Hallo,

ich habe mal gegoogelt. Du hast über google books Zugriff auf ein paar Seiten des Buches Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1 von Lothar Papula. Einige Seite von Kapitel 8 (Kegelschnitte) kannst du dort einsehen. Sogar Beispiele sind zu finden.

[]http://books.google.de/books?id=a6yCfIcHA14C&pg=PA230&lpg=PA230&dq=papula+kegelschnitte&source=bl&ots=NcIF2NHNKG&sig=9IrB5QgKPFWxW_XsIJDh9PexGgM&hl=de&ei=C9xnTsziNcqg4gSl1qjHDA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CCcQ6AEwAg#v=onepage&q&f=false

Ich finde es dort sehr schön erklärt. Man sieht auch gleich auf der ersten Seite, warum es sich bei Aufgabe a) um eine Ellipse handelt (weil [mm]A\cdot{B}>0[/mm]). Aber das siehst du dann nach ausführlicher Lektüre ;)

Gruß
barsch


Bezug
                                
Bezug
Kegelschnitte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:49 Mo 19.09.2011
Autor: Mathemurmel

Hallo,
Deine Litteraturempfehlung hat alle meine Fragen in optimaler Weise beantwortet! Ich danke Dir vielmals dafür!
Gruß
Mathemurmel

Bezug
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