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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 So 05.12.2010 | | Autor: | Torste |
| Aufgabe | Sei [mm] E\subset\ \IR^2 [/mm] messbar und h>0. Der Kegel über E der Höhe h ist die Teilmenge [mm] K_E\subset\ \IR^3 [/mm] defniert durch [mm] K_E:=\bigcup_{(x,y) \in E}^{}(((x,y,0),(0,0,h))^-(das [/mm] soll oben so ein ganzer Querstrich sein!), wobei ((x,y,0),(0,0,h))^- die Strecke von (x,y,0) nach (0,0,h) ist. D.h. man legt E in die z=0 Ebene und verbindet jeden Punkt von E mit der Kegelspitze (0,0,h).
Zz: [mm] \lambda^3(K_E)=h/3*\lambda^2(E) [/mm] |
Hallo ,
soweit ich das richtig versteh, geht es in dieser Aufgabe darum eine Formel für das Volumen eines Kegels zu beweisen, die aben gerade die Grundfläche mal die Höhe durch drei beschreibt!
Aber wie ich das machen soll ist mir noch ein Rätsel - hat jemand einen Tipp für mich, weil ich momentan noch ziemlich ideenlos bin!??
Danke schonmal
Torste
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:49 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipp: Prinzip von Cavalieri
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:40 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Torste |
Hallo Fred,
dein Tipp ist höchstwahrscheinlich wichtig und sinnvoll, wir hatten Cavalieris Satz auch gerade die letzte Woche, aber leider ist mir der Einsatz dieses Satzes noch nicht klar.
Wir haben ihn so aufgeschrieben:
Seien E,F [mm] \in B(\IR^{n+m}). [/mm] Falls [mm] \lambda^n(E_y)=\lambda^n(F_y) [/mm] für fast alle y gilt, so folgt [mm] \lambda^{n+m}(E)=\lambda^{n+m}(F).
[/mm]
Anschaulich als Bsp hatten wir, dass falls die Schnittflächen zweier Körper in entsprechenden Höhen dieselbe Fläche haben, die beiden Körper dieselben Volumina haben.
Jetzt steht ja auf der linken Seite der zu zeigenden Gleichung gerade das Volumen über den ganzen Kegel mit der Grundfläche E und der Spitze h. Und das soll hetzt gleich einer zweidimensionalen Fläche, nämlich gerade der der Grundfläche E mal die Höhe durch drei sein.
Die Formel kennt man ja eigentlich schon aus der Sek 1...aber sie jetzt so zu beweisen!?
Ich weiß halt nicht, wie ich den Satz da jetzt anwenden soll, wenn ich mal bei der linken Seite so beginne:
[mm] \lambda^3(K_E)=\bigcup_{(x,y) \in E}^{}(((x,y,0),(0,0,h))^-d(x,y,z)=...
[/mm]
Kann man das so schon mal anfangen oder ist das dann für die Benutzung des Satzes ungeeignet!?
Danke auf jeden Fall für den Tipp - so fange ich wenigstens endlich an über dies Zusammenhänge nachzudenken!
Torste
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:44 Di 07.12.2010 | | Autor: | Torste |
So - ich bin der Lösung näher - ich weiß jetzt worum es geht, aber wie soll cih denn [mm] \lambda^2(E) [/mm] berechnen?
Idee:
[mm] \integral_{\wurzel{z_0-x^2}}^{-\wurzel{z_0-x^2}}{x^2+y^2 dy}
[/mm]
Mein Problem ist nur, dass ich da Null rausbekommen und das kann ja nicht sein, weil wir ja sozusagen einen Flächeninhalt ausrechnen und der existiert ja bei unserer Grundfläche E, oder!?
Auf der anderen Seite wollte ich für z die Integralgrenzen 0 und h nutzen - ich glaube das klappt auch soweit!
Gruß Torste
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Do 09.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Do 09.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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