Kelvin Element Potenzreihe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 So 11.05.2008 | | Autor: | Daene111 |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die DGL lautet:
epsilon*y''[x]+y'[x]+y[x]=1
ich soll diese nun mit einem Potenzreihenansatz lösen. Dieser lautet:
y= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\varepsilon^{n}*y_{n})
[/mm]
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Ich bin leider nicht mehr so fix mit DGL´s. Wie mache ich das?
Ich habe gestern gelesen, dass man den Potenzreihenansatz erstmal ableitet so oft wie benötigt.
1) y= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\varepsilon^{n}*y_{n})
[/mm]
y'= [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(n*\varepsilon^{n-1}*y_{n})
[/mm]
y''= [mm] \summe_{n=2}^{\infty}((n-1)*n*\varepsilon^{n-2}*y_{n})
[/mm]
das zweite was ich gelesen habe war eine Indexverschiebung um die Summen verechnen zu können
2) y= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\varepsilon^{n}*y_{n})
[/mm]
y'= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}((n+1)*\varepsilon^{n}*y_{n})
[/mm]
y''= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}((n+1)*(n+2)*\varepsilon^{n}*y_{n})
[/mm]
so nun würde ich das in meine DGL einsetzen und einen Koeffizientenvergleich machen:
[mm] \varepsilon*\summe_{n=0}^{\infty}((n+1)*(n+2)*\varepsilon^{n}*y_{n})+ \summe_{n=0}^{\infty}((n+1)*\varepsilon^{n}*y_{n})+\summe_{n=0}^{\infty}(\varepsilon^{n}*y_{n})=1
[/mm]
und hier hab ich jetzt mein Problem wie geht es weiter???
Vielen Dank für eure Hilfe!
und achja an einer Antwort wäre ich immer interessiert!
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Hallo Daene111,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Die DGL lautet:
>
> epsilon*y''[x]+y'[x]+y[x]=1
>
> ich soll diese nun mit einem Potenzreihenansatz lösen.
> Dieser lautet:
>
> y= [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\varepsilon^{n}*y_{n})[/mm]
>
> Ich bin leider nicht mehr so fix mit DGL´s. Wie mache ich
> das?
>
> Ich habe gestern gelesen, dass man den Potenzreihenansatz
> erstmal ableitet so oft wie benötigt.
Das ist richtig.
>
> 1) y= [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\varepsilon^{n}*y_{n})[/mm]
> y'= [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(n*\varepsilon^{n-1}*y_{n})[/mm]
> y''=
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}((n-1)*n*\varepsilon^{n-2}*y_{n})[/mm]
>
> das zweite was ich gelesen habe war eine Indexverschiebung
> um die Summen verechnen zu können
Auch das ist richtig.
>
> 2) y= [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\varepsilon^{n}*y_{n})[/mm]
> y'=
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}((n+1)*\varepsilon^{n}*y_{n})[/mm]
> y''=
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}((n+1)*(n+2)*\varepsilon^{n}*y_{n})[/mm]
>
> so nun würde ich das in meine DGL einsetzen und einen
> Koeffizientenvergleich machen:
>
> [mm]\varepsilon*\summe_{n=0}^{\infty}((n+1)*(n+2)*\varepsilon^{n}*y_{n})+ \summe_{n=0}^{\infty}((n+1)*\varepsilon^{n}*y_{n})+\summe_{n=0}^{\infty}(\varepsilon^{n}*y_{n})=1[/mm]
>
> und hier hab ich jetzt mein Problem wie geht es weiter???
Um die Koeffizienten vergleichen zu können, mußt Du dafür sorgen, daß Du in jeder Summe den gleichen Exponenten hast.
> Vielen Dank für eure Hilfe!
> und achja an einer Antwort wäre ich immer interessiert!
>
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Di 13.05.2008 | | Autor: | Daene111 |
zu 1) hätte ich eine Frage ich verschiebe hier die Summenindizes muss ich dann nicht auch bei den [mm] y_{n} [/mm] beachten?
wenn ich die Summen nun mit gleichem Exponeneten schreibe sieht dass dann so aus?
[mm] \cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}((n+1)\cdot{}(n+2)\cdot{}\varepsilon^{n+1}\cdot{}y_{n})+ \summe_{n=0}^{\infty}((n+1)\cdot{}\varepsilon^{n}\cdot{}y_{n})+\summe_{n=0}^{\infty}(\varepsilon^{n}\cdot{}y_{n})=1
[/mm]
und wenn ich nun den summenindex der ersten summe verschiebe so:
[mm] \cdot{}\summe_{n=1}^{\infty}((n)\cdot{}(n+1)\cdot{}\varepsilon^{n}\cdot{}y_{n})+ \summe_{n=0}^{\infty}((n+1)\cdot{}\varepsilon^{n}\cdot{}y_{n})+\summe_{n=0}^{\infty}(\varepsilon^{n}\cdot{}y_{n})=1
[/mm]
wenn dass soweit stimmt wie geht es weiter? zum allgemeinen verständnis:
1) ich suche immer noch eine lösung für die dgl.
2) jetzt habe ich eine Potenzreihe als lösung angenommen
3) ich versuche diese nun in meine DGl einzusetzen um was zu machen?
wieso der Koeffizienten vergleich und sieht dieser so aus?
[mm] n*(n+1)*y_{n}+(n+1)*y_{n}+y_{n}=1
[/mm]
d.h.
[mm] (n^{2}+2n+2)*y_{n}=1
[/mm]
ich fühl mich gerade sehr unsicher was ich hier mache ;) danke für jede Hilfe
Grüße Dominic
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Di 13.05.2008 | | Autor: | Daene111 |
geht es bei dem Koeffizeintenvergleich einfach darum eine beschreibung wie [mm] y_{n}[n] [/mm] zu finden?
in meinem Fall für n>0 würde diese dann
[mm] y_{n}=\bruch{1}{n^{2}+2*n+2} [/mm] heißen und dies in meine Potenzreihenansatz liefert dann:
[mm] y_{n}= \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n^{2}+2*n+2}*\varepsilon^{n}
[/mm]
ist das meine Lösung der DGl?!
grüße und nochmals Danke!
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Hallo Daene111,
> geht es bei dem Koeffizeintenvergleich einfach darum eine
> beschreibung wie [mm]y_{n}[n][/mm] zu finden?
>
> in meinem Fall für n>0 würde diese dann
>
> [mm]y_{n}=\bruch{1}{n^{2}+2*n+2}[/mm] heißen und dies in meine
> Potenzreihenansatz liefert dann:
>
> [mm]y_{n}= \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n^{2}+2*n+2}*\varepsilon^{n}[/mm]
>
> ist das meine Lösung der DGl?!
Leider nein.
Wenn Du die Summenformel in die Gleihchung einsetzt, erhältst Du:
[mm] \cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)\cdot{}(n+2)\cdot{}\varepsilon^{n+1}\cdot{}y_{n\red{+2}}+ \summe_{n=0}^{\infty}(n+1)\cdot{}\varepsilon^{n}\cdot{}y_{n\red{+1}}+\summe_{n=0}^{\infty}(\varepsilon^{n}\cdot{}y_{n})=1[/mm]
Um dies vergleichen zu können, machts Du folgendes:
Nennen wir den Exponent mal k
Dann muß in der ersten Summe [mm]n+1=k[/mm] sein
Dann muß in der zweiten Summe [mm]n=k[/mm] sein
Dann muß in der dritten Summe [mm]n=k[/mm] sein
Demnach steht dann da:
[mm]k*\left(k+1\right)*y_{k+1}+\left(k+1\right)*y_{k+1}+y{k}[/mm]
Für [mm]k=1[/mm] ist das 1 sonst 0.
Natürlich gibt es hier den Sonderfall k=0, dann fällt nämlich der erste Summand weg und es bleibt:
[mm]\left(k+1\right)*y_{k+1}+y{k}=0[/mm]
>
> grüße und nochmals Danke!
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Di 13.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> zu 1) hätte ich eine Frage ich verschiebe hier die
> Summenindizes muss ich dann nicht auch bei den [mm]y_{n}[/mm]
> beachten?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Siehe meine andere Antwort.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Di 13.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Die DGL lautet:
>
> epsilon*y''[x]+y'[x]+y[x]=1
>
> ich soll diese nun mit einem Potenzreihenansatz lösen.
> Dieser lautet:
>
> y= [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\varepsilon^{n}*y_{n})[/mm]
>
> Ich bin leider nicht mehr so fix mit DGL´s. Wie mache ich
> das?
>
> Ich habe gestern gelesen, dass man den Potenzreihenansatz
> erstmal ableitet so oft wie benötigt.
>
> 1) y= [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\varepsilon^{n}*y_{n})[/mm]
> y'= [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(n*\varepsilon^{n-1}*y_{n})[/mm]
> y''=
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}((n-1)*n*\varepsilon^{n-2}*y_{n})[/mm]
>
> das zweite was ich gelesen habe war eine Indexverschiebung
> um die Summen verechnen zu können
>
> 2) y= [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\varepsilon^{n}*y_{n})[/mm]
> y'=
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}((n+1)*\varepsilon^{n}*y_{n})[/mm]
> y''=
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}((n+1)*(n+2)*\varepsilon^{n}*y_{n})[/mm]
Du hast hier aber den Index nicht richtig verschoben: du musst bei jedem Auftreten des Index verschieben, also:
[mm]y'=\summe_{n=0}^{\infty}((n+1)*\varepsilon^{n}*y_{n\red{+1}})[/mm]
[mm]y''= \summe_{n=0}^{\infty}((n+1)*(n+2)*\varepsilon^{n}*y_{n\red{+2}})[/mm]
Beachte aber, dass du in deiner DGL den Term
[mm]\varepsilon*y''= \summe_{n=2}^{\infty}((n-1)*n*\varepsilon^{n-1}*y_{n}) = \summe_{n=1}^{\infty}(n*(n+1)*\varepsilon^{n}*y_{n\red{+1}})[/mm]
stehen hast.
> so nun würde ich das in meine DGL einsetzen und einen
> Koeffizientenvergleich machen:
>
> [mm]\varepsilon*\summe_{n=0}^{\infty}((n+1)*(n+2)*\varepsilon^{n}*y_{n})+ \summe_{n=0}^{\infty}((n+1)*\varepsilon^{n}*y_{n})+\summe_{n=0}^{\infty}(\varepsilon^{n}*y_{n})=1[/mm]
>
> und hier hab ich jetzt mein Problem wie geht es weiter???
Wenn du die Indizes richtig einsetzt, bekommst du eine Gleichung, die [mm] $y_{n+1}$ [/mm] und [mm] $y_n$ [/mm] verknüpft, und zwar für alle [mm] $n\ge [/mm] 1$. (Den Fall n=0 musst du getrennt behandeln.)
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:17 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Daene111 |
okay soweit hab ich das jetzt bin bei
[mm] y_{n+1}=\bruch{1-y_{n}}{(n+1)^_{2}}
[/mm]
angelangt. So und jetzt das eigentliche Problem wie komme ich so zu meiner Lösung y[x]=... d.h. wie berechne ich die Potenzreihe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mi 14.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> okay soweit hab ich das jetzt bin bei
> [mm]y_{n+1}=\bruch{1-y_{n}}{(n+1)^_{2}}[/mm]
Nein, du hast doch:
[mm] (n+1)^2 *y_{n+1} + y_n = 0 [/mm] für [mm] n\ge 1[/mm]
und
[mm] y_0 = 1 [/mm].
[mm] $y_1$ [/mm] ist nicht festgelegt.
> angelangt. So und jetzt das eigentliche Problem wie komme
> ich so zu meiner Lösung y[x]=... d.h. wie berechne ich die
> Potenzreihe?
Ich frage mich gerade etwas ganz Anderes: geht es hier um einen Potenzreihenansatz oder eine Störungsentwicklung? Was haben [mm] $\varepsilon$ [/mm] und x miteinander zu tun? Mit anderen Worten: sind die [mm] $y_n$ [/mm] Konstanten, wie wir bisher angenommen haben, oder sind es Funktionen von x?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:24 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Daene111 |
achso ich habe noch gelesen, dass ich erst zeigen muss, dass die [mm] y_{n} [/mm] ab einem fixen [mm] n\ge [/mm] a (a [mm] \in \IN) [/mm] 0 sein müssen bevor man die Potenzreihe berechnet. Das geht hier ja nicht!
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Mi 14.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> achso ich habe noch gelesen, dass ich erst zeigen muss,
> dass die [mm]y_{n}[/mm] ab einem fixen [mm]n\ge[/mm] a (a [mm]\in \IN)[/mm] 0 sein
> müssen bevor man die Potenzreihe berechnet. Das geht hier
> ja nicht!
Wo hast du das gelesen? Für eine Potenzreihenentwicklung brauchst du das nicht unbedingt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Daene111 |
Verwenden Sie jetzt den Ansatz y = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\varepsilon^{n}*y_{n} [/mm] und bestimmen Sie die erste Korrektur zur
Lösung mit [mm] \varepsilon=0 [/mm] = 0
lauet der exakte Augabentext!
ich hoffe ich lag mit meiner Annahme ich soll die oben beschriebene DGL. mit diesem Ansatz lösen nicht ganz falsch!
Zuvor habe ich in zwei Teilaufgaben die DGL "normal" gelöst mit unterschiedlichen Anfangsbedingungen unteranderem mit einem mit [mm] \varepsilon [/mm] = 0(==> überdämpftes System...).
In der nächsten Teilaufgabe soll ich eine der Lösungen aus den ersten zwei Teilaufgaben bis [mm] O(\varepsilon) [/mm] entwickeln und später das Ergebnis mit dem Ergebnis aus der hier im Forum gestellten Aufgabe siehe oben vergleichen.
Grüße und ich hoffe ich lag nicht völlig falsch mit meiner Annahme ich soll die DGL mit dem Ansatz lösen. Für mich sah es so aus wie ein Potenzreihenansatz für eine DGL.
Auf mein letztes Posting komme ich durch eine google suche nach Potenzreihenansatz (zweiter google Eintrag).
Grüße Dominic
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Mi 14.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Verwenden Sie jetzt den Ansatz y =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\varepsilon^{n}*y_{n}[/mm] und bestimmen
> Sie die erste Korrektur zur
> Lösung mit [mm]\varepsilon=0[/mm] = 0
>
> lauet der exakte Augabentext!
>
> ich hoffe ich lag mit meiner Annahme ich soll die oben
> beschriebene DGL. mit diesem Ansatz lösen nicht ganz
> falsch!
>
> Zuvor habe ich in zwei Teilaufgaben die DGL "normal" gelöst
> mit unterschiedlichen Anfangsbedingungen unteranderem mit
> einem mit [mm]\varepsilon[/mm] = 0(==> überdämpftes System...).
> In der nächsten Teilaufgabe soll ich eine der Lösungen aus
> den ersten zwei Teilaufgaben bis [mm]O(\varepsilon)[/mm] entwickeln
> und später das Ergebnis mit dem Ergebnis aus der hier im
> Forum gestellten Aufgabe siehe oben vergleichen.
Wenn ich das richtig verstehe, ich eine Störungsentwicklung gemeint, das heisst, du schreibst
[mm] y(x) = \summe_{n=0}^{\infty} \varepsilon^n y_n(x) [/mm]
und vergleichst wieder Potenzen von [mm] $\varepsilon$. [/mm] Dabei must du natürlich die Ableitungen der [mm] $y_n(x)$ [/mm] berücksichtigen. [mm] $y_0$ [/mm] ist die Lösung der DGL für [mm] $\varepsilon=0$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Do 15.05.2008 | | Autor: | Daene111 |
okay ich geb nicht auf...Das würde dann alles so aussehen?!
die Lösung für [mm] \varepsilon [/mm] = 0 lautet: y[x]=Exp[-x](-1+Exp[x])
1) Ableitung : y'[x]=1-Exp[-x]*(-1+Exp[x])
2) Ableitung : y''[x]=-1+Exp[-x]*(-1+Exp[x])
diese setzte ich jetzt für meine [mm] y_{n+i} [/mm] i für i-te Ableitung ein.
==>
[mm] \cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)\cdot{}(n+2)\cdot{}\varepsilon^{n+1}\cdot{}(-1+Exp[-x]*(-1+Exp[x]))+\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)\cdot{}\varepsilon^{n}\cdot{}(1-Exp[-x]*(-1+Exp[x]))+\summe_{n=0}^{\infty}(\varepsilon^{n}\cdot{}Exp[-x](-1+Exp[x])=1
[/mm]
aber was jetzt passiert?
danke für eure Hilfe!
Grüße Dominic
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Do 15.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Dominic!
> okay ich geb nicht auf...
> Das würde dann alles so
> aussehen?!
>
> die Lösung für [mm]\varepsilon[/mm] = 0 lautet:
> y[x]=Exp[-x](-1+Exp[x])
Das ist nicht ganz richtig: $y(x)= [mm] 1+C*e^{-x}$ [/mm] mit [mm] $C\in \IR$.
[/mm]
> 1) Ableitung : y'[x]=1-Exp[-x]*(-1+Exp[x])
> 2) Ableitung : y''[x]=-1+Exp[-x]*(-1+Exp[x])
>
> diese setzte ich jetzt für meine [mm]y_{n+i}[/mm] i für i-te
> Ableitung ein.
Warum?
Ich würde es so machen: [mm] y= \summe_{n=0}^{\infty} \varepsilon^n y_n(x) [/mm], daher
[mm] y'(x) = \summe_{n=0}^{\infty} \varepsilon^n y'_n(x) [/mm]
und
[mm] y''(x) = \summe_{n=0}^{\infty} \varepsilon^n y''_n(x) [/mm].
In die DGL eingesetzt und zusammengezogen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \varepsilon^n y''_{n-1}(x) + \summe_{n=0}^{\infty} \varepsilon^n (y'_n(x)+y_n(x)) = 1[/mm].
Koeffizientenvergleich ergibt:
[mm] y_0 = \text{Lösung für $\varepsilon =0$}[/mm]
[mm] y'_n +y_n = -y''_{n-1} [/mm], [mm] n\ge 1[/mm].
Für [mm] $y_1$ [/mm] ergibt sich also die DGL:
[mm] y'_1(x) + y_1(x) = C * e^{-x} [/mm]
usw.
Viele Grüße
Rainer
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