Kern (Aufgabe) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 So 06.09.2009 | | Autor: | stowoda |
| Aufgabe | [mm] A_b [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & b & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1}
[/mm]
Berechne [mm] Kern(A_b) [/mm] für b [mm] \in \IR [/mm] |
Hallo,
ich weiss, dass zum Kern die nichttrivialen Lösungen der folgenden Gleichung gehören:
[mm] Kern(A_b)=A*x=0
[/mm]
Ich weiss auch, dass bei b = 1, die Matrix keinen vollen Rang hat und die Dimension des Kerns damit > 0 sein muss.
Aber wie berechne ich das Ganze in Abhängigkeit von b?
Habe versucht [mm] A_b [/mm] umzuformen, damit unter der Hauptdiagonalen Nullen stehen, doch ohne erfolg.
Bekomme das mit der Abhängigkeit von b nicht hin.
Wäre dankbar falls mir jemand unter die Arme greifen könnte.
Grüße
|
|
| |
|
Hallo stowoda,
> [mm]A_b[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & b & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1}[/mm]
>
> Berechne [mm]Kern(A_b)[/mm] für b [mm]\in \IR[/mm]
> Hallo,
>
> ich weiss, dass zum Kern die nichttrivialen Lösungen der
> folgenden Gleichung gehören:
> [mm] $Kern(A_b)=\red{\{x\in\IR^3\mid} A*x=0\red{\}}$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich weiss auch, dass bei b = 1, die Matrix keinen vollen
> Rang hat und die Dimension des Kerns damit > 0 sein muss.
>
> Aber wie berechne ich das Ganze in Abhängigkeit von b?
> Habe versucht [mm]A_b[/mm] umzuformen, damit unter der
> Hauptdiagonalen Nullen stehen, doch ohne erfolg.
> Bekomme das mit der Abhängigkeit von b nicht hin.
Jo, das ist das Patentrezept.
>
> Wäre dankbar falls mir jemand unter die Arme greifen
> könnte.
Mal sehen, beginnen wir damit, die 1.Zeile zur 2.Zeile zu addieren und das $(-2)$-fache der 1. Zeile zur 3.Zeile zu addieren. Das gibt
[mm] $\pmat{ 1 & b & -1 \\ 0 & 1+b & -2 \\ 0 & -1-2b & 3}$
[/mm]
Nun das $(1+2b)$-fache der 2.Zeile zum $(1+b)$-fachen der 3.Zeile addieren.
Das ist nur für [mm] $1+b\neq [/mm] 0$, also [mm] $b\neq [/mm] -1$ zulässig und liefert
[mm] $\pmat{ 1 & b & -1 \\ 0 & 1+b & -2 \\ 0 & 0 & 1-b}$
[/mm]
Nun hast du die gewünschte Zeilenstufenform, wie sieht's hier mit dem Kern in Abh. von b aus?
Für den Fall $b=-1$ schaue dir nochmal die zweite Matrix, also [mm] $\pmat{ 1 & b & -1 \\ 0 & 1+b & -2 \\ 0 & -1-2b & 3}$ [/mm] an ...
> Grüße
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 So 06.09.2009 | | Autor: | stowoda |
Hallo und Danke für Deine Zeit.
Wenn ich die Umgeformte Matrix [mm] A_b=\pmat{ 1 & b & -1 \\ 0 & 1+b & -2\\0 & 0 & 1-b} [/mm] für b = 1 anschaue, bzw die Gleichung A*x=0, dann komme ich auf die folgende Lösungsmenge:
[mm] x=\alpha\vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] , also Dim(Kern) = 1
Allerdings bekomme ich für b = -1 folgendes:
[mm] x=\alpha\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+\beta\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , also Dim(Kern) = 2
Ist das richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Wenn ich die Umgeformte Matrix [mm]A_b=\pmat{ 1 & b & -1 \\ 0 & 1+b & -2\\0 & 0 & 1-b}[/mm]
> für b = 1 anschaue, bzw die Gleichung A*x=0, dann komme
> ich auf die folgende Lösungsmenge:
> [mm]x=\alpha\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] , also Dim(Kern) = 1
Das ist alles richtig .
> Allerdings bekomme ich für b = -1 folgendes:
>
> [mm]x=\alpha\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+\beta\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] ,
> also Dim(Kern) = 2
Das ist leider falsch, uns ich weiß auch nicht wie du drauf gekommen bist (Rechenweg...). Wichtig: Du darfst nicht die letzte Form nehmen von schachuzipus nehmen, wo schon die Zeilenstufenform hergestellt war, weil (wie er auch selbst gesagt hat), diese Form nicht für b = -1 gilt! Du musst die vorherige Form nehmen, und wirst sehen, dass die Matrix Vollrang hat, der Kern also nur die Dimension 0.
Für die vollständige Lösung der Aufgabe fehlt nun aber noch die Angabe des Kerns für die "Nicht-Spezial-Fälle" 
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 So 06.09.2009 | | Autor: | stowoda |
Ok, ich sehe ein, dass für b=-1, A vollen rang hat, da die Spalten bzw. Zeilen linear unabhängig sind.
Ich machte den Fehler da ich die Endform benutzte..
Nur um sicher zu gehen:
Ich darf in die Endform nicht b=-1 einsetzen, da dann die elementaren Zeilen und Spaltenumformungen nicht mehr gelten?
Nun..
Den algemeinen fall sehe ich nicht :(
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Ok, ich sehe ein, dass für b=-1, A vollen rang hat, da die
> Spalten bzw. Zeilen linear unabhängig sind.
> Ich machte den Fehler da ich die Endform benutzte..
>
> Nur um sicher zu gehen:
> Ich darf in die Endform nicht b=-1 einsetzen, da dann die
> elementaren Zeilen und Spaltenumformungen nicht mehr
> gelten?
Du darfst in die Endform b = -1 nicht einsetzen, weil die Endform für diesen b-Wert gar nicht existiert, gar nicht definiert ist, was auch immer (Du setzt beim Schritt, der dich zur Endform bringt, voraus, dass b [mm] \not= [/mm] -1).
> Nun..
> Den algemeinen fall sehe ich nicht :(
Was meinst du damit? Im allgemeinen Fall, also [mm] b\not= [/mm] 1 bzw. [mm] b\not= [/mm] -1 hat die Matrix Vollrang, weil durch die Werte von b keine Nullen entstehen.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Mo 07.09.2009 | | Autor: | stowoda |
Ja klar..
Vielen Dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mo 07.09.2009 | | Autor: | stowoda |
Wie finde ich denn die Bilder von [mm] A_b [/mm] ?
Bilder sind doch die Spalten der Matrix oder?
Wenn b = 1, dann sind die Bilder: [mm] \vektor{1\\ -1\\2} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 1\\-1}
[/mm]
Wenn b [mm] \!= [/mm] 1, dann ist [mm] Bild(A_b): \vektor{1\\ -1\\2} [/mm] , [mm] \vektor{b \\ 1\\-1} [/mm] , [mm] \vektor{-1 \\ -1\\1}
[/mm]
Stimmt das?
|
|
|
| |
|
Hallo stowoda,
> Wie finde ich denn die Bilder von [mm]A_b[/mm] ?
> Bilder sind doch die Spalten der Matrix oder?
>
> Wenn b = 1, dann sind die Bilder: [mm]\vektor{1\\ -1\\2}[/mm] und
> [mm]\vektor{1 \\ 1\\-1}[/mm]
>
> Wenn b [mm]\!=[/mm] 1, dann ist [mm]Bild(A_b): \vektor{1\\ -1\\2}[/mm] ,
> [mm]\vektor{b \\ 1\\-1}[/mm] , [mm]\vektor{-1 \\ -1\\1}[/mm]
Das Ungleichheitszeichen bekommst Du mit "\not=".
[mm]b \not= 1: Bild(A_b): \vektor{1\\ -1\\2} , \vektor{b \\ 1\\-1} , \vektor{-1 \\ -1\\1}[/mm]
Stimmt.
>
> Stimmt das?
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Mo 07.09.2009 | | Autor: | stowoda |
Ok, vielen Dank.
|
|
|
|
