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| Aufgabe | Sei K ein Körper und seien V, W, X drei K-Vektorräume sowie f [mm] \in [/mm] L(V,W) und g [mm] \in [/mm] L(W,X). Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
1) g injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] Kern(f) = Kern(g [mm] \circ [/mm] f)
2) f surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] Bild(g) = Bild(g [mm] \circ [/mm] f)
Um die folgenden Aussagen zu zeigen, dürfen sie annehmen, dass V,W und X endlich-dimensional sind:
3) f bijektiv [mm] \Rightarrow [/mm] dim(Kern(g)) = dim(Kern(g [mm] \circ [/mm] f))
4) g bijektiv [mm] \Rightarrow [/mm] dim(Bild(f)) = dim(Bild(g [mm] \circ [/mm] f)) |
Bin leider komplett ratlos bei dieser Aufgabe. War einige Wochen krank und konnte nicht in die Vorlesung bzw. alles nachholen. Bitte um Hilfe beim Ansatz und vielleicht noch mehr.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Mi 24.12.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Einschitein,
willkommen im Forum! 
Du musst dir erst die Definition von Injektivität (Für jedes [mm] x\in [/mm] X, existiert höchstens ein....) und Surjektivität (Für jedes [mm] w\in [/mm] W, ex. mind. ein...) sowie die Def. des Kerns und Bildes bewusst machen. Dann überlegst du dir für welche(s) [mm] x\in [/mm] X die injektive Funktion g eigentlich Null werden kann. Warum also ändert es den Kern(f) nicht, wenn ich mit g verknüpfe, also [mm] $Kern(f)=Kern(g\circ [/mm] f)$?
Zu 2.) kannst du dir gleichfalls überlegen, welche [mm] w\in [/mm] W die surjektive Funktion f trifft. Warum also ändert das "Vorschalten" von f vor g am Kern(g) nichts, d.h. [mm] $Kern(g)=Kern(g\circ [/mm] f)$?
Statt sich die Def. von Injektivität und Surjektivität wie oben in den Sinn zu rufen, kann man auch nutzen, dass für injektive Funktionen der Kern die Menge, die die Null enthält, ist, also [mm] Kern(g)=\{0\} [/mm] und für surjektives f das $Bild(f)=W.$ Da ich unterwegs mit meinem Smartphone schreibe, bitte ich evtl. auftretende Fehler zu entschuldigen.
Schönen Abend!
MfG
Ladon
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Danke für deine Hilfe,
leider bin ich immer noch etwas ratlos bei der Herangehensweise dieser Aufgabe. Hab mir überlegt, weil g injektiv ist, ist Kern(g) = 0. Heist das dass Kern(g [mm] \circ [/mm] f) ebenfalls Null ist? Und woher weis ich was Kern(f) ist? Selbiges gilt für die anderen 3 Teilaufgaben. Weis leider auch nicht, wie ich den Dimensionssatz benutzen soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Fr 26.12.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Danke für deine Hilfe,
> leider bin ich immer noch etwas ratlos bei der
> Herangehensweise dieser Aufgabe. Hab mir überlegt, weil g
> injektiv ist, ist Kern(g) = 0. Heist das dass Kern(g [mm]\circ[/mm]
> f) ebenfalls Null ist? Und woher weis ich was Kern(f) ist?
Kern(g) = {0}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das heisst nicht, dass Kern(g [mm] $\circ$ [/mm] f) ebenfalls der Nullvektor ist; nur für
den Fall Kern(f) = {0}.
Da über f in der Aufgabe nur angegeben ist, dass f $ [mm] \in$ [/mm] L(V,W),
kannst du einfach von Kern(f) aus gehen. (muss also für jeden möglichen
Kern von f gelten)
Was gibt f(Kern(f))?
Und g(f(Kern(f)))?
Also ist Kern(g [mm] $\circ$ [/mm] f) ...
> Selbiges gilt für die anderen 3 Teilaufgaben. Weis leider
> auch nicht, wie ich den Dimensionssatz benutzen soll.
>
>
>
>
Gruß
meili
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Fr 26.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
du sollst [mm] Kern(f)=Kern($g\circ [/mm] f$) zeigen, d.h.
i. [mm] Kern(f)$\subset$Kern($g\circ [/mm] f$) und
ii. [mm] Kern(f)$\supset$Kern($g\circ [/mm] f$)
i. ist klar, dafür braucht g nicht injektiv zu sein.
ii. rechnet man schnell nach [mm] $x\in Kern($g\circ [/mm] f$) [mm] \Rightarrow [/mm] g(f(x)=0$. Benutze nun die Injektivität von $g$ um $x [mm] \in [/mm] Kern(f)$ zu sehen.
Die 2) rechnet man genau so einfach nach. Eine Inklusion gilt auch wenn f nicht surjektiv ist, die andere folgt direkt aus der Surjektivität von g.
Nochmal zur 3): Was ist den dim(Kern(g)) nach dem Rangsatz?
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:52 Do 25.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
für die 3) beachte, dass aus der Bijektivität von f insbesondere Bild(g) = Bild(g $ [mm] \circ [/mm] $ f) und dim W=dim V folgt.
Mit diesen beiden Gleichungen und dem Dimensionssatz folgt die Behauptung.
Die 4) funktioniert ähnlich.
Liebe Grüße
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