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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Fr 14.09.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Ein Lemma der Vorlesung:
Sei [mm] \phi: [/mm] V-> V linear , dim(V)=n
[mm] \exists [/mm] N [mm] \in \{0,..,n\} [/mm] sodass [mm] ker(\phi^N) [/mm] = [mm] ker(\phi^{N+1})
[/mm]
Es gilt dann auch k [mm] \in\IN
[/mm]
[mm] ker(\phi^N)=ker(\phi^{N+k})
[/mm]
[mm] img(\phi^N)=img(\phi^{N+k})
[/mm]
V= ker [mm] (\phi^N) \oplus img(\phi^N) [/mm] |
Hallo
Wir haben in der Vorlesung das Lemma bewiesen. Nun sind mir aber paar Schritte nicht klar, die wir da verwendet haben.
1)
Wieso gilt [mm] ker(\phi^N) \subseteq ker(\phi^{N+k}) [/mm] ?
2)
Wieso gilt [mm] img(\phi^{N+k}) \subseteq img(\phi^N)?
[/mm]
Also warum werden die Kerne immer größer und die Bilder immer kleiner?
P.S.:
Ich hätte noch eine Frage di da nicht so ganz dazupasst.
Ich stelle sie maL: Wenn zwei matrizen selbe Spektren(also selbe Eigenwerte haben) folgt dann daraus das die Matrizen ähnlich sind?
liebe grüße
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> Ein Lemma der Vorlesung:
> Sei [mm]\phi:[/mm] V-> V linear , dim(V)=n
> [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \{0,..,n\}[/mm] sodass [mm]ker(\phi^N)[/mm] =
> [mm]ker(\phi^{N+1})[/mm]
> Es gilt dann auch k [mm]\in\IN[/mm]
> [mm]ker(\phi^N)=ker(\phi^{N+k})[/mm]
> [mm]img(\phi^N)=img(\phi^{N+k})[/mm]
> V= ker [mm](\phi^N) \oplus img(\phi^N)[/mm]
>
>
> Hallo
> Wir haben in der Vorlesung das Lemma bewiesen. Nun sind
> mir aber paar Schritte nicht klar, die wir da verwendet
> haben.
>
> 1)
> Wieso gilt [mm]ker(\phi^N) \subseteq ker(\phi^{N+k})[/mm] ?
>
>
> 2)
> Wieso gilt [mm]img(\phi^{N+k}) \subseteq img(\phi^N)?[/mm]
>
> Also warum werden die Kerne immer größer und die Bilder
> immer kleiner?
Hallo,
der Grund wird Dir klar werden, wenn Du einen Beweis versuchst.
Also, leg mal los!
Sei [mm] x\in$ker(\phi^N) [/mm] .
Was bedeutet das?
Und was mußt Du nun zeigen, wenn Du zeigen willst, daß x auch in $ [mm] ker(\phi^{N+k})$ [/mm] ist?
Die Aussage mit dem Bild geht so ähnlich.
>
> P.S.:
> Ich hätte noch eine Frage di da nicht so ganz dazupasst.
> Ich stelle sie maL: Wenn zwei matrizen selbe Spektren(also
> selbe Eigenwerte haben) folgt dann daraus das die Matrizen
> ähnlich sind?
Nein.
LG Angela
> liebe grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 So 16.09.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,
ZZ.: [mm] ker(\phi^N) \subseteq ker(\phi^{N+k})
[/mm]
Sei x [mm] \in ker(\phi^N) [/mm] dh. [mm] \phi^N [/mm] (x) =0
ZuZeigen: x [mm] \in ker(\phi^{N+k})
[/mm]
Beweisführung: [mm] \phi^{N+k} [/mm] (x) = [mm] \phi^{k+N} [/mm] (x) = [mm] \phi^k \circ \phi^N [/mm] (x) = [mm] \phi^k [/mm] ( [mm] \phi^N(x))= \phi^k [/mm] (0) = [mm] \phi \circ... \circ \phi [/mm] (0)
wegen Linearität =0
[mm] ZZ.:img(\phi^{N+k}) \subseteq img(\phi^{N})
[/mm]
Seit t [mm] \in img(\phi^{N+k}) [/mm] so [mm] \exists [/mm] l sodass t = [mm] \phi^{N+k} [/mm] (l)
ZuZeigen: t [mm] \in [/mm] img [mm] (\phi^N)
[/mm]
Beweisfrührung: t = [mm] \phi^{N+k} [/mm] (l)= [mm] \phi^N [/mm] ( [mm] \phi^k [/mm] (l))
Bezeichne [mm] \phi^k [/mm] (l) = u
[mm] \phi^N [/mm] ( [mm] \phi^k [/mm] (l )) = [mm] \phi^N(u [/mm] )
-> t [mm] \in [/mm] img [mm] (\phi^N) [/mm] im ARgument [mm] \phi^k [/mm] ( l ) = u
Frage 1) Passt das?
Frage 2) Noch eine andere Frage, wieso gilt: [mm] \phi(img(\phi^{N})= img(\phi^{N+1})
[/mm]
Also wieso darf man bild und [mm] \phi [/mm] vertauschen??
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 So 16.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ZZ.: [mm]ker(\phi^N) \subseteq ker(\phi^{N+k})[/mm]
>
> Sei x [mm]\in ker(\phi^N)[/mm] dh. [mm]\phi^N[/mm] (x) =0
> ZuZeigen: x [mm]\in ker(\phi^{N+k})[/mm]
> Beweisführung:
> [mm]\phi^{N+k}[/mm] (x) = [mm]\phi^{k+N}[/mm] (x) = [mm]\phi^k \circ \phi^N[/mm] (x) =
> [mm]\phi^k[/mm] ( [mm]\phi^N(x))= \phi^k[/mm] (0) = [mm]\phi \circ... \circ \phi[/mm]
> (0)
> wegen Linearität =0
>
>
> [mm]ZZ.:img(\phi^{N+k}) \subseteq img(\phi^{N})[/mm]
>
> Seit t [mm]\in img(\phi^{N+k})[/mm] so [mm]\exists[/mm] l sodass t =
> [mm]\phi^{N+k}[/mm] (l)
> ZuZeigen: t [mm]\in[/mm] img [mm](\phi^N)[/mm]
> Beweisfrührung: t = [mm]\phi^{N+k}[/mm] (l)= [mm]\phi^N[/mm] ( [mm]\phi^k[/mm] (l))
> Bezeichne [mm]\phi^k[/mm] (l) = u
> [mm]\phi^N[/mm] ( [mm]\phi^k[/mm] (l )) = [mm]\phi^N(u[/mm] )
> -> t [mm]\in[/mm] img [mm](\phi^N)[/mm] im ARgument [mm]\phi^k[/mm] ( l ) = u
>
> Frage 1) Passt das?
Ja
> Frage 2) Noch eine andere Frage, wieso gilt:
> [mm]\phi(img(\phi^{N})= img(\phi^{N+1})[/mm]
> Also wieso darf man
> bild und [mm]\phi[/mm] vertauschen??
Da kann ich nur wie Angela antworten:
der Grund wird Dir klar werden, wenn Du einen Beweis versuchst.
FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 So 16.09.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,danke
Ich habs vorhin paarmal versucht, habs aber nicht hinbekommen.
$ [mm] \phi(img(\phi^{N}))= img(\phi^{N+1}) [/mm] $
Sei [mm] x\in img(\phi^{N+1}) [/mm] dh. [mm] \exists [/mm] t sodass x= [mm] \phi^{N+1}(t)
[/mm]
Zuzeigen x [mm] \in \phi((img(\phi^{N}) [/mm] d.h. [mm] \exists [/mm] k [mm] \in img(\phi^{N}) [/mm] sodass [mm] \phi((img(\phi^{N}))(k))=x
[/mm]
Beweisführung: ?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 So 16.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,danke
> Ich habs vorhin paarmal versucht, habs aber nicht
> hinbekommen.
>
> [mm]\phi(img(\phi^{N}))= img(\phi^{N+1})[/mm]
>
> Sei [mm]x\in img(\phi^{N+1})[/mm] dh. [mm]\exists[/mm] t sodass x=
> [mm]\phi^{N+1}(t)[/mm]
> Zuzeigen x [mm]\in \phi((img(\phi^{N})[/mm] d.h. [mm]\exists[/mm] k [mm]\in img(\phi^{N})[/mm]
> sodass [mm]\phi((img(\phi^{N}))(k))=x[/mm]
> Beweisführung: ?
[mm] x=\phi(\phi^N(t))
[/mm]
FRED
>
> Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 So 16.09.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo, achso jetzt fallts mir wie schuppen von den augen!!
> $ [mm] \phi(img(\phi^{N}))= img(\phi^{N+1}) [/mm] $
>
> Sei $ [mm] x\in img(\phi^{N+1}) [/mm] $ dh. $ [mm] \exists [/mm] $ t sodass x=
> $ [mm] \phi^{N+1}(t) [/mm] $
> Zuzeigen x $ [mm] \in \phi((img(\phi^{N}) [/mm] $ d.h. $ [mm] \exists [/mm] $ k $ [mm] \in img(\phi^{N}) [/mm] $
> sodass $ [mm] \phi((img(\phi^{N}))(k))=x [/mm] $
> Beweisführung: ?
> $ [mm] x=\phi(\phi^N(t)) [/mm] $
Beweisführung:
> $ [mm] x=\phi(\phi^N(t)) [/mm]
= [mm] \phi(img(\phi^N)
[/mm]
Andersrum genauso.
Jetzt noch eine Frage ;P
Zeige: [mm] \phi(ker(\phi^N)) \subseteq ker(\phi^{N-1})
[/mm]
Sei x [mm] \in ker(\phi^{N-1}) [/mm] d.h. [mm] \phi^{N-1}(x)=0
[/mm]
ZuZeigen: x [mm] \in \phi(ker(\phi^N))
[/mm]
[mm] 0=\phi^{N-1} (x)=\phi^{-1} (\phi^N [/mm] (x))
d.h. [mm] \phi^N [/mm] (x) ist [mm] \in ker(\phi^{-1})=ker(\phi) [/mm] laut Lemma
?
Liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Mo 17.09.2012 | | Autor: | hippias |
> Jetzt noch eine Frage ;P
> Zeige: [mm]\phi(ker(\phi^N)) \subseteq ker(\phi^{N-1})[/mm]
>
> Sei x [mm]\in ker(\phi^{N-1})[/mm] d.h. [mm]\phi^{N-1}(x)=0[/mm]
> ZuZeigen: x [mm]\in \phi(ker(\phi^N))[/mm]
Nein, das waere der Ansatz fuer den Beweis von [mm] $ker(\phi^{N-1}) \subseteq \phi(ker(\phi^N))$. [/mm] Beginne also mit einem [mm] $x\in \phi(ker(\phi^N))$ [/mm] und erschliesse [mm] $x\in ker(\phi^{N-1})$.
[/mm]
> [mm]0=\phi^{N-1} (x)=\phi^{-1} (\phi^N[/mm]
> (x))
> d.h. [mm]\phi^N[/mm] (x) ist [mm]\in ker(\phi^{-1})=ker(\phi)[/mm] laut
> Lemma
> ?
>
> Liebe grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Mo 17.09.2012 | | Autor: | sissile |
hi,Ich pack es leider nicht
ZuZeigen:$ [mm] \phi(ker(\phi^N)) \subseteq ker(\phi^{N-1}) [/mm] $
Sei x [mm] \in \phi(ker(\phi^N)) [/mm] <=> x [mm] \in img_{\phi}(ker(\phi^N))
[/mm]
ZZ: x [mm] \in ker(\phi^{N-1}) [/mm] d.h. [mm] \phi^{N-1} [/mm] (x) =0
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Di 18.09.2012 | | Autor: | hippias |
> hi,Ich pack es leider nicht
>
> ZuZeigen:[mm] \phi(ker(\phi^N)) \subseteq ker(\phi^{N-1})[/mm]
>
> Sei x [mm]\in \phi(ker(\phi^N))[/mm] <=> x [mm]\in img_{\phi}(ker(\phi^N))[/mm]
>
> ZZ: x [mm]\in ker(\phi^{N-1})[/mm] d.h. [mm]\phi^{N-1}[/mm] (x) =0
>
> Liebe Grüße
Wenn also $x [mm] \in \phi(ker(\phi^N))$ [/mm] dann existiert [mm] $y\in ker(\phi^N)$ [/mm] mit $x= [mm] y\phi$. [/mm] Es folgt [mm] $x\phi^{N-1}= [/mm] ...$ versuche Du es weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Di 18.09.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ich verstehe deinen Ansatz leider nicht.
> Wenn also $ x [mm] \in \phi(ker(\phi^N)) [/mm] $ dann existiert $ [mm] y\in ker(\phi^N) [/mm] $ mit $ x= [mm] y\phi [/mm] $.
Ich hab gedacht:
Wenn $ x [mm] \in \phi(ker(\phi^N)) [/mm] $ dann existiert $ [mm] y\in ker(\phi^N) [/mm] $ mit $ x= [mm] \phi(y) [/mm] $.
???
Liebe Grüße
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> Hallo,
> Ich verstehe deinen Ansatz leider nicht.
> > Wenn also [mm]x \in \phi(ker(\phi^N))[/mm] dann existiert [mm]y\in ker(\phi^N)[/mm]
> mit [mm]x= y\phi [/mm].
> Ich hab gedacht:
> Wenn [mm]x \in \phi(ker(\phi^N))[/mm] dann existiert [mm]y\in ker(\phi^N)[/mm]
> mit [mm]x= \phi(y) [/mm].
> ???
Hallo,
ja, da denkst Du völlig richtig.
hippias sagt dasselbe, verwendet lediglich eine andere Notation.
LG Angela
>
> Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Di 18.09.2012 | | Autor: | sissile |
Ah okay ;)
> ZuZeigen:$ [mm] \phi(ker(\phi^N)) \subseteq ker(\phi^{N-1}) [/mm] $
Sei x $ [mm] \in \phi(ker(\phi^N)) [/mm] $ <=> [mm] \exists$ y\in ker(\phi^N) [/mm] $
mit $ x= [mm] \phi(y) [/mm] $.
ZZ: x $ [mm] \in ker(\phi^{N-1}) [/mm] $ d.h. $ [mm] \phi^{N-1} [/mm] $ (x) =0
[mm] \phi^{N-1} [/mm] (x) = [mm] \phi^{N-1} (\phi(y)) [/mm] = [mm] \phi^N [/mm] (y) =0
Denke es passt,liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Di 18.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ah okay ;)
> > ZuZeigen:[mm] \phi(ker(\phi^N)) \subseteq ker(\phi^{N-1})[/mm]
>
> Sei x [mm]\in \phi(ker(\phi^N))[/mm] <=> [mm]\exists[/mm] [mm]y\in ker(\phi^N)[/mm]
>
> mit [mm]x= \phi(y) [/mm].
>
> ZZ: x [mm]\in ker(\phi^{N-1})[/mm] d.h. [mm]\phi^{N-1}[/mm] (x) =0
> [mm]\phi^{N-1}[/mm] (x) = [mm]\phi^{N-1} (\phi(y))[/mm] = [mm]\phi^N[/mm] (y) =0
>
> Denke es passt,liebe Grüße
Es passt.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:30 Di 18.09.2012 | | Autor: | sissile |
danke, für alle die mir geholfen haben ;)
Liebe Grüße
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