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Hi!
Hab ein paar Verständnisprobleme mit Kernen und Bildern von Linearen Abbildungen!
Wie stell ich mir einen Kern anschaulich vor? Meiner Meinung nach ist das derjenige Vektor, der mit der Matrix multipliziert den Nullvektor ergibt!? Ist das richtig? D. h. wenn ich mir das in 3-d vorstell ist das der Punkt Null!
Was ist das Bild? ist das Bild die Abbildung aller Vektoren einer Abbildungs vorschrift auf die Basen (in 3-d auf die Einheitsvektoren)?
Hmm... Hoff da kann mir jemand weiterhelfen! In Büchern ist das meist nur so allgemein formuliert und ich wills ja nicht nur rechnen können sondern auch wissen was dahinter steckt.
Danke schon mal für jede Antwort, die ich erhalte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi!
Auf jeden Fall ist es schonmal ein guter Weg nicht alles hinzunehmen, nur weil das da eben so steht im Skript. Verständnis ist da schon sehr wichtig!
Aber natürlich ist es schwierig zu versuchen, sich wirklich etwas vorzustellen. Im Allgemeinen sind das ja alles nur Spezialfälle und im [mm] \IR^4 [/mm] geht das schon nicht mehr.
Der Kern ist wirklich nicht mehr als das, was die Definition sagt. Wenn A die Abbildung vorgibt ist der Kerl also grade die Menge, die alle Vektoren enthält, die auf die 0 abbilden (und nur die).
Einfacher gesagt: Alle x [mm] \in \IR^n, [/mm] mit denen A*x=0.
Und das ist nicht nur der Nullvektor.
Wenn du jetzt also allgemein eine lineare Abbildung f: [mm] \IR^n \to \IR^n [/mm] hast, dann ist der Kern alle x [mm] \in \IR^n [/mm] , so dass f(x)=0.
Das Bild ist einfach die Menge aller Vektoren, die du erhälst, wenn du dir alle x aus deiner Urbildmenge schnappst und die abbildest. Wenn du nur die Basisvektoren abbildest bekommst du auch automatisch eine Basis des Bildraumes.
Und bei allem weiteren kommt es halt auch noch drauf an ob deine Abbildung surjektiv etc. ist. Da kann man sich dann manches noch besser "vorstellen".
Bei einer bijektiven Abbildung g: [mm] \IR^n \to \IR^n [/mm] bekommt man zum Beispiel eine Basis des [mm] \IR^n [/mm] durch [mm] g(e\e_i) [/mm] für alle i [mm] \in [/mm] {1,...n}.
Hoffe, das hat ein wenig geholfen. Aber mir vor einiger Zeit abgewöhnt was vorzustellen. Inzwischen kann ich mir besser Sachen vorstellen, die ich mir nicht vorstellen kann ;)
Sonst einfach nochmal nachfragen, ich stell gern noch was klar.
Gruß
ck
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Do 02.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Wenn du nur die Basisvektoren
> abbildest bekommst du auch automatisch eine Basis des
> Bildraumes.
Wenn man die Basisvektoren abbildet bekommt man normaler Weise nur ein Erzeugendensystem des Bildes - erst wenn die Bilder der Basisvektoren linear unabhängig sind (z.B. durch streichen einiger) hat man eine Basis des Bildes.
Aber war vielleicht auch nur so gemeint.
viele grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Do 02.06.2005 | | Autor: | gammakappa |
Hi!
Ja, sorry, natürlich! Mein Hirn ist im Moment n bisschen vernebelt vom zu vielen korrigieren und in Gruppen rumwühlen aber das wird wieder ;)
Grüße und danke für die Verbesserung!
ck
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