Kern,Bild bestimmen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:10 Mo 30.03.2009 | | Autor: | imbroken603 |
| Aufgabe | Sei [mm] T:\IR^{4}\to\IR^{3} [/mm] definiert durch [mm] x\mapsto T(x):=\vektor{2x_{2} \\ -3x_{1}+3x_{4} \\ 2x_{1} + x_{2} -2x_{4}}.
[/mm]
Berechnen Sie dim(Kern(T)) und dim(Bild(T)) und bestimmen Sie eine Basis von Kern(T) |
in einem anderen aufgabenteil musste man zeigen,dass T linear ist. habe ich auch hinbekommen.
dimV=dim(Kern(T) + dimBild(T)
dimV=4
dimKern(T) = 1
dimBild(T) = 3
A= [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -2}
[/mm]
mit Gauß umgeformt krieg ich raus:
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & 0 & 0 }
[/mm]
dies bedeutet,dass Kern(T) = [mm] LH\{ \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}\} [/mm] ist,da eben dim(Kern(T) ) = 1 und ich für [mm] x_{3} [/mm] beliebige zahlen einsetzen kann
wenn ich nun die Basis von Bild(T) angeben will,wäre dass doch gerade
[mm] Bild=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 }
[/mm]
stimmt das?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Mo 30.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alles richtig, ausser dass du die Basis des Bildes nicht als Matrix, sondern als Menge von den 3 Vektoren schreiben solltest.
Eine Basis des Kerns ist auch nur einfach ein Vektor, also lass das LH weg. LH(Basisvektoren) ergibt den Vektorraum von...
Gruss leduart
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ich habe aber einen fehler entdeckt: es gilt ja [mm] 2x_{2}
[/mm]
und somit sieht die matrix so aus:
A=$ [mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -2} [/mm] $
ich muss das jetzt mal nochmal überarbeiten...
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also diese matrixA= $ [mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -2} [/mm] $ umgeformt mit gauß : 1.) III - 1/2 I
2.) 2II + 3III
dann noch 2 mit 3.zeile vertauschen ergibt:
$ [mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] $
somiz ist die dim(Kern(T)) = 1
kann ich nun [mm] x_{3} [/mm] und [mm] x_{4} [/mm] frei wählen,sodass
Kern(T) = [mm] \{\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1} \} [/mm] oder kann ich nur [mm] x_{3} [/mm] frei wählen?
und wie sieht folglich mein bild aus??
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> also diese matrixA= [mm]\pmat{ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -2}[/mm]
> umgeformt mit gauß : 1.) III - 1/2 I
> 2.) 2II + 3III
> dann noch 2 mit 3.zeile vertauschen ergibt:
> [mm]\pmat{ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Hallo,
manierlich in ZSF geschrieben hätte man
[mm] \pmat{ 2 & 0& 0 & 0 \\ 0 & 2& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0},
[/mm]
in reduzierter ZSF
[mm] \pmat{ 1 & 0& 0 & 0 \\ 0 & 1& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}.
[/mm]
>
> somiz ist die dim(Kern(T)) = 1
Nein.
Der Rang der Matrix ist 2, also dim Bild=2.
Es gilt [mm] dim\IR^4= [/mm] dim bild + dim kern,
also hat der Kern die Dimension 2.
> kann ich nun [mm]x_{3}[/mm] und [mm]x_{4}[/mm] frei wählen,
Da sagst Du es ja aiuch selbst.
Genau, die Variablen der Spalten, in denen keine führenden Zeilenelemente stehen, wähle frei.
Das geht dann so:
[mm] x_4=t
[/mm]
[mm] x_3=s
[/mm]
[mm] x_2=0
[/mm]
[mm] x_1=0
[/mm]
Also haben die Vektoren des Kerns die Gestalt [mm] \vec{x}=\vektor{0\\0\\s\\t}= s*\vektor{0\\0\\1\\0} [/mm] + [mm] t*\vektor{0\\0\\0\\1},
[/mm]
damit ist [mm] \{\vektor{0\\0\\1\\0},\vektor{0\\0\\0\\1}\} [/mm] eine Basis des Kerns, und [mm] Kern=LH\{\vektor{0\\0\\1\\0},\vektor{0\\0\\0\\1}\}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo angela
vielen dank:) jetzt weiß ich wo mein fehler lag...
zu der Basis vom Bild: wäre dann Bild(T) = [mm] \{\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} \} [/mm] ?? oder muss der dreidimensional sein,also Bild(T) = [mm] \{\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ },\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ } \} [/mm] weil ja das Bild [mm] \IR^{3} [/mm] ist.
was mich nur ab und zu irritiert ist,dass ich manchmal nie weiß,ob ich die zeilenstufenform oder spaltenstufenform nehmen soll.
bei deinem beispiel letztens:
2 1 0 /0
0 0 0 /0
0 0 0 /0
hab ich verstanden ,dass dim(Kern(T) ) = 2 sein muss.
bei dieser matrix:
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
bin ich nicht auf die idee gekommen die letzten beiden spalten als frei wählbare zu holen.klar,dein super satz sagt dann alles.
nur wenn man diesen satz auf deine matrix anwendet,wäre nur eine variabel frei wählbar.
kannst du mir vielleicht sagen,wie ich mir nun merken kann,wann ich die zeilen und wann die stufenform nehmen muss??
und danke für die erklärung!!super!!
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> zu der Basis vom Bild: wäre dann Bild(T) = [mm]\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} \}[/mm]
Hallo,
Du sagst es später selbst: da diese Vektoren dem [mm] \IR^4 [/mm] entstammen, kommen sie als basis des Bildes nicht infrage.
> ?? oder muss der dreidimensional sein,also Bild(T) =
> [mm]\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ },\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ } \}[/mm]
> weil ja das Bild [mm]\IR^{3}[/mm] ist.
Diese sind zwar schon aus dem richtigen Raum, aber eine Basis des Bildes sind sie nicht.
Du hattest die Matrix A=$ [mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -2} [/mm] $ , in Zeilenstufenform gebracht hattest Du $ [mm] \pmat{ 2 & 0& 0 & 0 \\ 0 & 2& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}.
[/mm]
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in der ersten und zweiten Spalte, also bilden der erste und zweite der ursprünglichen(!!!) Spaltenvektoren eine (!) Basis des Bildes, [mm] hier:\vektor{0\\-3\\2}, \vektor{2\\0\\1}.
[/mm]
> was mich nur ab und zu irritiert ist,dass ich manchmal nie
> weiß,ob ich die zeilenstufenform oder spaltenstufenform
Spaltenstufenform? Verwende ich nie, nie, nie. Ich mache auch keine Spaltenumformungen, und rate jedem, der nicht den guten Überblick hat, dringend davon ab.
Man kommt einfach zu leicht durcheinander und weiß plötzlich gar nicht mehr, wsa man wann wofür tun soll. Meiner Meinung nach jedenfalls.
Aus der Zeilenstufenform kannst Du alles, was das Herz begehrt, ablesen, und vor allen kannst du sie auch gebrauchen, wenn Du Gleichungen löst. mit Spaltengewurschtel kommst Du nämlich in des Teufels Küche. (Ich jedenfalls.)
> nehmen soll.
> bei deinem beispiel letztens:
> [mm] \green{2} [/mm] 1 0 /0
> 0 0 0 /0
> 0 0 0 /0
>
> hab ich verstanden ,dass dim(Kern(T) ) = 2 sein muss.
Ja, es gibt nur ein führendes Zeilenelement, nämlich das in der ersten Spalte, also kannst Du [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] frei wählen.
> bei dieser matrix:
>
> 0 1 0 0
> 1 0 0 0
> 0 0 0 0
>
> bin ich nicht auf die idee gekommen die letzten beiden
> spalten als frei wählbare zu holen.klar,dein super satz
> sagt dann alles.
> nur wenn man diesen satz auf deine matrix anwendet,wäre
> nur eine variabel frei wählbar.
Nein, siehe oben.
Ein führendes Zeilenelement, zwei freie Variable.
>
> kannst du mir vielleicht sagen,wie ich mir nun merken
> kann,wann ich die zeilen und wann die stufenform nehmen
> muss??
Nimm immer die Zeilenstufenform und mach nur Zeilenumformungen.
Gruß v. Angela
>
> und danke für die erklärung!!super!!
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mir ist gerade mal aufgefallen,dass die matrix falsch ist:
$ [mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -2} [/mm] $
III - 1/2 I
ergibt:
$ [mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 0 & -2} [/mm] $
2II - 3III ergibt dann aber:
$ [mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & -2} [/mm] $
vertauschen,reduzieren:
$ [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] $
demnach ist rg(A) = 3 , dim Bild(T) = 3...komisch und dim Kern(T) = 1
Kern(T) = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
und Bild(T ) = [mm] \vektor{0 \\ -3 \\ 2 }, \vektor{2 \\ 0 \\ 1 }, \vektor{0 \\ 3 \\ -2 }
[/mm]
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| Aufgabe | Gegeben sei
[mm] T:\IR^{5} \mapsto \IR^{6} [/mm] mit
[mm] T(\vec{x})=\vektor{x_{1}-x_{2} \\ x_{3}-x_{4} \\ x_{5} \\ x_{2}-x_{4} \\ 2x_{5} \\ 3x_{5}}
[/mm]
Berechnen Sie dim(Bild(T)) , dim (Kern(T)) und geben Sie je eine Basis von Kern(T) und Bild(T) an. |
als Matrix geschrieben:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3}
[/mm]
mit Gauß kommt man auf die reduzierte ZSF :
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
man sieht,dass rg(A) = 4 ist und somit dim(Bild(T)) = 4
dim(Kern(T)) = dim V - dim(Bild(T)) = 5-4 = 1
jetzt krieg ich aber mal wieder probleme beim berechnen von Kern und Bild
ich wähle [mm] x_{3}= [/mm] t
I: [mm] x_{1}-x_{2}=0 [/mm] -> [mm] x_{1}=x_{2}
[/mm]
II : [mm] -x_{2}+x_{3}= [/mm] 0 -> [mm] x_{2}=t [/mm] und damit [mm] x_{1} [/mm] = t
IV: [mm] -x_{2}-x_{4}=0 [/mm] -> [mm] x_{4}=-t
[/mm]
[mm] Kern(T)=t*\{\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0} \}
[/mm]
stimmt das so?
und nun zum Bild:
ich hab die matrix A transponiert:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0}
[/mm]
und bekomme somit als Bild(T) =$ [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 & 0} [/mm] $ $ [mm] \pmat{ 0 & -1 & 1 & 0 & 0} [/mm] $ $ [mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 & -1 & 0} [/mm] $ $ [mm] \pmat{0 & 0 & 0 & 0 & 2} [/mm] $ alles als vektor
stimmt das so?
danke !
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> Gegeben sei
> [mm]T:\IR^{5} \mapsto \IR^{6}[/mm] mit
> [mm]T(\vec{x})=\vektor{x_{1}-x_{2} \\ x_{3}-x_{4} \\ x_{5} \\ x_{2}-x_{4} \\ 2x_{5} \\ 3x_{5}}[/mm]
>
> Berechnen Sie dim(Bild(T)) , dim (Kern(T)) und geben Sie je
> eine Basis von Kern(T) und Bild(T) an.
> als Matrix geschrieben:
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3}[/mm]
>
> mit Gauß kommt man auf die reduzierte ZSF :
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Hallo,
das ist keine ZSF: Du hast doch in der zweiten Spalte zwei (!) führende Zeilenelemente. Das darf nicht sein.
Gruß v. Angela
>
> man sieht,dass rg(A) = 4 ist und somit dim(Bild(T)) = 4
> dim(Kern(T)) = dim V - dim(Bild(T)) = 5-4 = 1
>
> jetzt krieg ich aber mal wieder probleme beim berechnen von
> Kern und Bild
>
> ich wähle [mm]x_{3}=[/mm] t
>
> I: [mm]x_{1}-x_{2}=0[/mm] -> [mm]x_{1}=x_{2}[/mm]
> II : [mm]-x_{2}+x_{3}=[/mm] 0 -> [mm]x_{2}=t[/mm] und damit [mm]x_{1}[/mm] = t
> IV: [mm]-x_{2}-x_{4}=0[/mm] -> [mm]x_{4}=-t[/mm]
>
> [mm]Kern(T)=t*\{\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0} \}[/mm]
>
> stimmt das so?
>
> und nun zum Bild:
> ich hab die matrix A transponiert:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0}[/mm]
>
> und bekomme somit als Bild(T) =[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 & 0}[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & -1 & 1 & 0 & 0}[/mm] [mm]\pmat{ 0 & -1 & 0 & -1 & 0}[/mm]
> [mm]\pmat{0 & 0 & 0 & 0 & 2}[/mm] alles als vektor
> stimmt das so?
>
> danke !
>
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die ZSF krieg ich aber nicht hin,denn egal wie ich´s mache,irgend eine zeile hat immer mehr als 1 zahl....
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kann mir denn keiner helfen?? ich habe in der zweiten Mitteilung meine lösung geändert...:(
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