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| Aufgabe | Hallo,
folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten:
Sei [mm] Pol{_\le_3}([-1,1],\IR) [/mm] der Vektorraum der Polynomfunktionen auf dem Intervall [-1,1] vom Grad [mm] \le [/mm] 3.
Betrachte dazu die folgende lineare Abbildung:
F: [mm] Pol{_\le_3}([-1,1],\IR) \to \IR^2
[/mm]
f [mm] \mapsto (\integral_{-1}^{1}{f(t) dt} [/mm] , f(0) )
1.) Bestimme ohne Rechnung die Dimension von Kern(F)
2.) Bestimme mit möglichst wenig Rechnung eine Basis von Kern(F) |
Also mein Ansatz war folgender:
Ich nehme ein allgemeines Polynom mit Grad [mm] \le [/mm] 3.
f(x)= [mm] ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + cx + d
Der Kern(F) sind dann alle x [mm] \in \IR [/mm] , die auf 0 abgebildet werden, also suche ich die x , die diese Gleichung erfüllen:
f(x)=0 [mm] \gdw (\integral_{-1}^{1}{ax^3 + bx^2 + cx + d =0 dx}, [/mm] f(0)=0 )
Für das Integral erhalte ich dann folgendes:
[mm] \bruch{a}{4}*x^4 [/mm] + [mm] \bruch{b}{3}*x^3 [/mm] + [mm] \bruch{c}{2}*x^2 [/mm] + dx //(mit den Grenzen [-1, 1])
Wenn ich die Integrationsgrenzen einsetzen kommt das raus:
[mm] \bruch{2}{3}*b [/mm] + 2d
Und dieser Ausdruck muss dann ja gleich Null sein für den Kern, also:
[mm] \bruch{2b}{3}+ [/mm] 2d = 0
Aber was sagt mir das über den Kern ?
Ist das soweit überhaupt korrekt. Bin da irgendwie unsicher, auch wenn ich nicht wüsste wie man es sonst machen kann.
In der Aufgabe steht ja, dass ich dim(Kern(F)) OHNE Rechnung bestimmen soll.
Bin für jede Hilfe dankbar!
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Hallo LittleGauss,
> Hallo,
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> folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten:
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> Sei [mm]Pol{_\le_3}([-1,1],\IR)[/mm] der Vektorraum der
> Polynomfunktionen auf dem Intervall [-1,1] vom Grad [mm]\le[/mm] 3.
> Betrachte dazu die folgende lineare Abbildung:
>
> F: [mm]Pol{_\le_3}([-1,1],\IR) \to \IR^2[/mm]
>
> f [mm]\mapsto (\integral_{-1}^{1}{f(t) dt}[/mm] , f(0) )
>
> 1.) Bestimme ohne Rechnung die Dimension von Kern(F)
> 2.) Bestimme mit möglichst wenig Rechnung eine Basis von
> Kern(F)
> Also mein Ansatz war folgender:
>
> Ich nehme ein allgemeines Polynom mit Grad [mm]\le[/mm] 3.
> f(x)= [mm]ax^3[/mm] + [mm]bx^2[/mm] + cx + d
>
> Der Kern(F) sind dann alle x [mm]\in \IR[/mm] , die auf 0 abgebildet
> werden, also suche ich die x , die diese Gleichung
> erfüllen:
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> f(x)=0 [mm]\gdw (\integral_{-1}^{1}{ax^3 + bx^2 + cx + d =0 dx},[/mm]
> f(0)=0 )
>
> Für das Integral erhalte ich dann folgendes:
>
> [mm]\bruch{a}{4}*x^4[/mm] + [mm]\bruch{b}{3}*x^3[/mm] + [mm]\bruch{c}{2}*x^2[/mm] + dx
> //(mit den Grenzen [-1, 1])
>
> Wenn ich die Integrationsgrenzen einsetzen kommt das raus:
>
> [mm]\bruch{2}{3}*b[/mm] + 2d
>
> Und dieser Ausdruck muss dann ja gleich Null sein für den
> Kern, also:
>
> [mm]\bruch{2b}{3}+[/mm] 2d = 0
>
> Aber was sagt mir das über den Kern ?
> Ist das soweit überhaupt korrekt. Bin da irgendwie
> unsicher, auch wenn ich nicht wüsste wie man es sonst
> machen kann.
Deine Rechnung stimmt bis hierher.
Du solltest vorher noch f(0) = 0 auswerten, die Bedingung muss ja auch erfüllt sein, damit das Polynom im Kern von F liegt.
Daraus folgt nämlich d = 0.
Dann folgt aus obiger Gleichung weiter b = 0.
Du kommst also darauf, dass die Polynome im Kern folgende Gestalt haben:
$f(x) = [mm] a*x^{3}+c*x$.
[/mm]
Und genau diese Idee sollte dir auch vor dem Rechnen kommen:
f(0) = 0 bedeutet, dass die Funktionen im Kern von F durch den Ursprung gehen.
Und dann:
[mm] \integral_{-1}^{1}{f(t) dt}
[/mm]
Wann wird so ein Integral Null?
Wenn im Intervall [-1,0] genau das Negative der Fläche unter der Funktion f ist wie im Intervall [0,1].
Das ist genau bei punktsymmetrischen Funktionen der Fall!
Deswegen kommst du zu der Vermutung: Im Kern geht es um punktsymmetrische Funktionen. Bei Polynomen bedeutet das: alle geraden Potenzen von x fallen aus der Funktionsvorschrift raus.
Man könnte allerdings noch Bedenken haben, dass die punktsymmetrischen Funktionen wirklich alle sind, die die Bedingungen erfüllen (es könnte ja mehr geben).
Diese Bedenken kannst du dann aber erst mit Nachrechnen aus der Welt räumen.
Grüße,
Stefan
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Ach das war mal eine super Hilfe! Vielen Dank! Hättest du nicht besser schildern können.
Mein Fehler war es , dass ich die Bedingung f(0)=0 außer Acht gelassen habe, da ich mich am Ende, wenn ich mit dem Integral fertig bin, drum kümmern wollte.
Aber jetzt erscheint es mir so natürlich logischer.
Habe das selber nochmal durchgerechnet und kam dann auch zu
f(x) = [mm] ax^3 [/mm] + cx gekommen.
An die Sache mit der ungeraden funktion (ist ja das gleiche wie punktsymmetrie) hatte ich auch gedacht, wollte zur Sicherheit aber trotzdem alles schwarz auf weiß haben und kam da halt an der genannten Stelle nicht weiter.
Ich schließe nun daraus, dass dim(Kern(F)) = 2 ist.
Und B = [mm] (x^3 [/mm] , x ) eine Basis vom Kern(F) ist.
Daraus folgt dann sofort dim(Bild(F))=2 , denn dim(V)=4.
Ist das soweit korrekt?
Eine Frage hätt ich da noch:
Ich hab ja eben die Dimension des Bildes durch die Dimensionsformel ermittelt. Hätt ich die nicht aber schon anhand der Abbildung ablesen können?
Die Abbildung lautet ja:
F: [mm] Pol_\le_3([-1,1],\IR) \to \IR^2
[/mm]
Die Polynome werden also alle in den [mm] \IR^2 [/mm] abgebildet.
Und da Polynome immer steig sind folgt, dass dim(Bild(F))=2.
Wäre diese Schlussfolgerung vernünftig?
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> Ich schließe nun daraus, dass dim(Kern(F)) = 2 ist.
> Und B = [mm](x^3[/mm] , x ) eine Basis vom Kern(F) ist.
> Daraus folgt dann sofort dim(Bild(F))=2 , denn dim(V)=4.
Hallo,
ja, richtig.
> Eine Frage hätt ich da noch:
> Ich hab ja eben die Dimension des Bildes durch die
> Dimensionsformel ermittelt. Hätt ich die nicht aber schon
> anhand der Abbildung ablesen können?
> Die Abbildung lautet ja:
>
> F: [mm]Pol_\le_3([-1,1],\IR) \to \IR^2[/mm]
>
> Die Polynome werden also alle in den [mm]\IR^2[/mm] abgebildet.
> Und da Polynome immer steig sind folgt, dass
> dim(Bild(F))=2.
> Wäre diese Schlussfolgerung vernünftig?
Nein.
Du weißt ja nicht von vornherein, ob die Abbildung F surjektiv ist. Das Bild könnte durchaus ein Unterraum des [mm] \IR^2 [/mm] sein.
Was man weiß ohne zu rechnen: das Bild hat höchstens die Dimension 2.
Gruß v. Angela
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ok, alles klar. hab da was vertauscht.
vielen vielen dank euch beiden.
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