Kern R3 -> R2 < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 So 23.01.2011 | | Autor: | Totti89 |
| Aufgabe | Die lineare Abbildung f: [mm] \IR^3 \to \IR^2 [/mm] wird für alle Vektoren [mm] \vec{u}=\vektor{x \\ y\\z} \in \IR^3 [/mm] gegeben durch:
[mm] f\vektor{1 \\ 0\\0}=\vektor{5 \\ -10} [/mm] , [mm] f\vektor{0 \\ 1\\0} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 6} [/mm] , [mm] f\vektor{0 \\ 0\\1} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 2}
[/mm]
a)Wie lautet die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basen des [mm] \IR^3 [/mm] und des [mm] \IR^2
[/mm]
b)Bestimmen sie den Kern und bestätigen sie die Dimensionsformel |
Hallo zusammen, bin mir bei meiner Lösung unsicher, vielleicht kann mir ja jemand eine Rückmeldung geben, wäre super!
zu a) habe ich einfach die Matrix abgelesen:
[mm] \pmat{ 5 & -3 & -1 \\ -10 & 6 & 2 }
[/mm]
liege ich da richtig, wenn ich sage, dass das die Matrix der linearen Abbildung ist im [mm] \IR^3 [/mm] bzgl. der kan. Basen ist?
zu b)
[mm] \pmat{ 5 & -3 & -1 \\ -10 & 6 & 2 } [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y \\z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
aber nach Gauß
[mm] \pmat{ 5 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
was heißt das jetzt für meinen Kern?
ich kann zwar noch sagen,dass [mm] y=\bruch{5}{3}x-\bruch{1}{3}z [/mm] und z=5x-3y
aber dann habe ich ja denkich noch keine richtige Basis für meinen Kern, der schon mal mit Gleichung 5x -3y -1z=0 beschrieben wird..!?
schon mal vielen Dank für Eure Bemühungen!
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Hallo Totti89,
> Die lineare Abbildung f: [mm]\IR^3 \to \IR^2[/mm] wird für alle
> Vektoren [mm]\vec{u}=\vektor{x \\
y\\
z} \in \IR^3[/mm] gegeben
> durch:
> [mm]f\vektor{1 \\
0\\
0}=\vektor{5 \\
-10}[/mm] , [mm]f\vektor{0 \\
1\\
0}[/mm]
> = [mm]\vektor{-3 \\
6}[/mm] , [mm]f\vektor{0 \\
0\\
1}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\
2}[/mm]
>
> a)Wie lautet die Matrix von f bezüglich der kanonischen
> Basen des [mm]\IR^3[/mm] und des [mm]\IR^2[/mm]
> b)Bestimmen sie den Kern und bestätigen sie die
> Dimensionsformel
> Hallo zusammen, bin mir bei meiner Lösung unsicher,
> vielleicht kann mir ja jemand eine Rückmeldung geben,
> wäre super!
>
> zu a) habe ich einfach die Matrix abgelesen:
> [mm]\pmat{ 5 & -3 & -1 \\
-10 & 6 & 2 }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> liege ich da richtig, wenn ich sage, dass das die Matrix
> der linearen Abbildung ist im [mm]\IR^3[/mm] bzgl. der kan. Basen
> ist?
Ja, liegst du ...
>
> zu b)
> [mm]\pmat{ 5 & -3 & -1 \\
-10 & 6 & 2 }[/mm] * [mm]\vektor{x \\
y \\
z}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
0}[/mm]
>
> aber nach Gauß
> [mm]\pmat{ 5 & -3 & -1 \\
0 & 0 & 0 }[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
0}[/mm]
> was
> heißt das jetzt für meinen Kern?
Du hast eine Gleichung in 3 Unbekannten, in Zeile 1 steht ja [mm]5x-3y-z=0[/mm]
Du kannst also [mm]y=s, z=t[/mm] mit [mm]s,t\in\IR[/mm] beliebig wählen.
Damit dann [mm]5x=3y+z=3s+t[/mm], also [mm]x=\frac{3}{5}s+\frac{1}{5}t[/mm]
Ein Vektor [mm]\vektor{x\\
y\\
z}[/mm] aus dem Kern sieht also so aus:
[mm]\vektor{\frac{3}{5}s+\frac{1}{5}t\\
s\\t}[/mm] mit [mm]s,t\in\IR[/mm]
Also [mm]\operatorname{Kern}=\left\{\vektor{\frac{3}{5}s+\frac{1}{5}t\\
s\\t}\mid s,t\in\IR\right\}=\left\{\vektor{\frac{3}{5}s\\
s\\
0}+\vektor{\frac{1}{5}t\\
0\\
t}\mid s,t\in\IR\right\}[/mm]
Der Kern ist also 2-dimensional, für etwa [mm]s=t=5[/mm] erhältst du als Basis
[mm]\left\{\vektor{3\\
5\\
0},\vektor{1\\
0\\
5}\right\}[/mm]
Bestimme nun das Bild (bzw. eine Basis desselben), beachte, dass die Spaltenvektoren das Bild aufspannen.
Überprüfe dann, ob der Dimensionssatz hier gilt ...
> ich kann zwar noch sagen,dass [mm]y=\bruch{5}{3}x-\bruch{1}{3}z[/mm]
> und z=5x-3y
> aber dann habe ich ja denkich noch keine richtige Basis
> für meinen Kern, der schon mal mit Gleichung 5x -3y -1z=0
> beschrieben wird..!?
>
> schon mal vielen Dank für Eure Bemühungen!
Gruß
schachuzipus
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