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| Aufgabe | a)Bestimmen sie den Kern von f:
[mm] f(x_{1},x_{2},x_{3}) \mapsto \vektor{2x_{1} + x_{2} \\ x_{2} + 2x_{3} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3} }
[/mm]
b)Bestimmen sie dim(Kern(f)) und dim(Bild(f)) |
a)ür den kern(f) gilt: [mm] Kern(f)=\{\vec{x} \in \IR^3| f( \vec{x})= \vec{0}\}
[/mm]
ich hab das nun mit gauß gemacht,also
2 1 0 0
0 1 2 0
1 1 1 0
III-1/2I
2 1 0 0
0 1 2 0
0 1/2 1 0
III - 1/2 II
2 1 0 0
0 1 2 0
0 0 0 0
somit ist schonmal [mm] Kern(f)\not= [/mm] 0
nun hab ich so weiter gemacht,wie auf eurer seite bschrieben (https://matheraum.de/wissen/Wie+man+den+Kern+einer+linearen+Abbildung+bestimmt?mrsessionid=f567ba5ff5d2699b2d86543875c081fd4faad7e4)
wähle [mm] x_{2}= [/mm] t
in I: [mm] 2x_{1} [/mm] + t = 0
[mm] x_{1}= [/mm] - 1/2 t
in III: [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3}=0
[/mm]
[mm] x_{3}= [/mm] -1/2 t
damit ergibt sich für [mm] Kern(f)=\{\vektor{-1/2 \\ 1 \\ -1/2} \}
[/mm]
stimmt das so?
b) dim(V) = dim(Kern(f)) + dim(Bild(f))
dim(Bild(f)) = rg(f) = 2 in diese Fall
dim(V) =3 und dim(Kern(f)) =1
stimmt das so??
und kann es auch sein,dass dim(Kern(f)) = 2 ist? ich hab mir nämlich die lösung von a) anhand der dimensionen hergeleitet. und mich eigentlich gewundert,dass dim(Kern(f)) = 1 ist. ist das aufgrund dieser Herleitung?
danke für eure hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> a)Bestimmen sie den Kern von f:
> [mm]f(x_{1},x_{2},x_{3}) \mapsto \vektor{2x_{1} + x_{2} \\ x_{2} + 2x_{3} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3} }[/mm]
>
> b)Bestimmen sie dim(Kern(f)) und dim(Bild(f))
> a)ür den kern(f) gilt: [mm]Kern(f)=\{\vec{x} \in \IR^3| f( \vec{x})= \vec{0}\}[/mm]
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> ich hab das nun mit gauß gemacht,also
> 2 1 0 0
> 0 1 2 0
> 1 1 1 0
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> III-1/2I
>
> 2 1 0 0
> 0 1 2 0
> 0 1/2 1 0
>
> III - 1/2 II
>
> 2 1 0 0
> 0 1 2 0
> 0 0 0 0
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> somit ist schonmal [mm]Kern(f)\not=[/mm] 0
>
> nun hab ich so weiter gemacht,wie auf eurer seite
> bschrieben
> (https://matheraum.de/wissen/Wie+man+den+Kern+einer+linearen+Abbildung+bestimmt?mrsessionid=f567ba5ff5d2699b2d86543875c081fd4faad7e4)
>
> wähle [mm]x_{2}=[/mm] t
> in I: [mm]2x_{1}[/mm] + t = 0
> [mm]x_{1}=[/mm] - 1/2 t
>
> in III: [mm]x_{2}[/mm] + [mm]2x_{3}=0[/mm]
> [mm]x_{3}=[/mm] -1/2 t
>
> damit ergibt sich für [mm]Kern(f)=\{\vektor{-1/2 \\ 1 \\ -1/2} \}[/mm]
Hallo,
nicht ganz: es ist [mm] Kernf=LH(\vektor{-1/2 \\ 1 \\ -1/2} [/mm] ),
[mm] \vektor{-1/2 \\ 1 \\ -1/2} [/mm] ist eine Basis des Kerns.
(Ich rate immer dazu, die Variablen der Spalten, in denen keine führenden Zeilenelemente stehen, als frei variable zu nehmen, hier wäre das die dritte.
Dieser Tip dient aber einfach dazu, daß man im Streß- bzw. Krisenfall (Klausur) ein deutliches Kochrezept hat. Was Du machst, ist auch richtig.)
> stimmt das so?
> b) dim(V) = dim(Kern(f)) + dim(Bild(f))
> dim(Bild(f)) = rg(f) = 2 in diese Fall
Ja.
> dim(V) =3 und dim(Kern(f)) =1
Ja.
>
> stimmt das so??
>
> und kann es auch sein,dass dim(Kern(f)) = 2 ist?
In dieser Aufgabe natürlich nicht, prizipiell aber schon.
Es könnte ja die ZSF mal so aussehen:
2 1 0 |0
0 0 0 |0
0 0 0 |0
> ich hab
> mir nämlich die lösung von a) anhand der dimensionen
> hergeleitet. und mich eigentlich gewundert,dass
> dim(Kern(f)) = 1 ist. ist das aufgrund dieser Herleitung?
???
Gruß v. Angela
> danke für eure hilfe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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zuerstmal danke:)
naja,mir war zunächst nicht klar,welche Elemente Kern(f) enthält...deshalb hab ich mir zuerst die dim(Kern(f)) hergeleitet...und deshalb wusst ich,wie ich Kern(f) =LH(...) bestimmen soll:)
>
> > und kann es auch sein,dass dim(Kern(f)) = 2 ist?
>
> In dieser Aufgabe natürlich nicht, prizipiell aber schon.
> Es könnte ja die ZSF mal so aussehen:
>
> 2 1 0 |0
> 0 0 0 |0
> 0 0 0 |0
>
wie würde denn dern Kern(f) hier aussehen? bei dieser aufgabe bekomm ich nämlich irgendwie probleme....(
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> zuerstmal danke:)
> naja,mir war zunächst nicht klar,welche Elemente Kern(f)
> enthält...deshalb hab ich mir zuerst die dim(Kern(f))
> hergeleitet...und deshalb wusst ich,wie ich Kern(f)
> =LH(...) bestimmen soll:)
> >
> > > und kann es auch sein,dass dim(Kern(f)) = 2 ist?
> >
> > In dieser Aufgabe natürlich nicht, prizipiell aber schon.
> > Es könnte ja die ZSF mal so aussehen:
> >
> > 2 1 0 |0
> > 0 0 0 |0
> > 0 0 0 |0
> >
>
> wie würde denn dern Kern(f) hier aussehen? bei dieser
> aufgabe bekomm ich nämlich irgendwie probleme....(
Hallo,
das führende Element der Nichtnullzeile steht in der ersten Spalte, also kann ich [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] als freie Variable nehmen.
[mm] x_2:=s
[/mm]
[mm] x_3:=t
[/mm]
[mm] x_1=0.5*( [/mm] 0 [mm] -1*x_2 -0*x_3)=-0.5x_2=-0.5s.
[/mm]
Also haben alle Elemente des Kerns die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-0.5s\\s\\t}=s*\vektor{-0.5\\1\\0} +t*\vektor{0\\0\\1}.
[/mm]
Damit ist der Kern [mm] =LH(\vektor{-0.5\\1\\0},\vektor{0\\0\\1}).
[/mm]
Gruß v. Angela
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ach,ok...jetzt versteh ich´s:) ist ja simpel;)
vielen dank,angela!!!
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