Kern der kompl. Exponentialfkt < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Di 14.06.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo an alle,
habe eine Frage zu einem Beweis bei mir im Buch. Und zwar geht es darum zu beweisen, dass der Kern der komplexen Exponentialfunktion der Menge [mm] 2\pi i\IZ [/mm] entspricht. Ich kann den Beweis eigentlich recht gut nachvollziehen bis auf einen Punkt.
Da ich mir nicht sicher bin, ob es sinnvoll ist den ganzen Beweis abzutippen, werde ich einfach mal so probieren das Problem zu erläutern. Falls jemand den ganzen Beweis lesen möchte, kann ich ihn auf Nachfrage gerne doch noch abtippen.
Der Beweis läuft wie folgt ab:
1) Es wird gezeigt, dass die komplexe Exponentialfunktion nicht injektiv ist und somit der Kern nicht alleine aus der Null bestehten kann.
2) Es wird gezeigt, dass alle Elemente des Kerns rein imaginäre Zahlen sind.
3)Somit gibt es auf jeden Fall Elemente si mit s>0, die im Kern liegen. Denn wenn si im Kern liegt, liegt ja auch immer -si im Kern(aufgrund von exp(si)exp(-si) = 1)
Bis hierher habe ich soweit alles verstanden:
Jetzt kommt die Stelle, die mir Probleme bereitet.
Diese lautet wie folgt:
"Da nach Lemma 2 keine Zahl iy [mm] \not= [/mm] 0 mit y [mm] \in [/mm] (-1, 1) zum Kern gehört, gibt es wegen der Stetigkeit von exp(z) eine kleinste positive reelle Zahl [mm] \pi [/mm] mit [mm] 2\pi i\in [/mm] Kern(exp)."
Das hier erwähnte Lemma 2 lautet wie folgt:
Die Funktion [mm] \IR \to S^1, [/mm] y [mm] \mapsto [/mm] exp(iy) hat im offenen Intervall (-1, 1) nur im Nullpunkt einen reellen Wert.
Der Beweis geht dann natürlich noch weiter. Aber da habe ich soweit alles verstanden,denke ich.
Mein Problem bei der Aussage ist nun folgendes: Ich verstehe nicht warum man überhaupt das Lemma 2 und die Stetigkeit der Exponentialfunktion braucht, um sagen zu können, dass es eine kleinste positive Zahl [mm] \pi [/mm] gibt mit der Eigenschaft [mm] 2\pi i\in [/mm] Kern(exp). So von meiner Logik her, die ja offensichtlich falsch ist, hätte ich gedacht, dass man die Aussage auch ohne Lemma 2 und die Stetigkeit hätte treffen können.
Bezüglich der Stetigkeit habe ich rausgefunden, dass man damit weiß , dass der Kern abgeschlossen ist. Aber was habe ich davon, dass der Kern abgeschlossen ist?
Mit dem Lemma 2 weiß ich in diesem Zusammenhang überhaupt nichts anzufangen.
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen auch wenn das jetzt ein langer Text war??
Vielen liebe Grüße,Yonca!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:15 Mi 15.06.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo nochmal und guten Morgen,
kann mir denn keiner helfen :o( ?
Soll ich vielleicht doch einmal den ganzen Beweis aufschreiben?
Viele Grüße,Yonca
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:44 Mi 15.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo an alle,
>
> habe eine Frage zu einem Beweis bei mir im Buch. Und zwar
> geht es darum zu beweisen, dass der Kern der komplexen
> Exponentialfunktion der Menge [mm]2\pi i\IZ[/mm] entspricht. Ich
> kann den Beweis eigentlich recht gut nachvollziehen bis auf
> einen Punkt.
>
> Da ich mir nicht sicher bin, ob es sinnvoll ist den ganzen
> Beweis abzutippen, werde ich einfach mal so probieren das
> Problem zu erläutern. Falls jemand den ganzen Beweis lesen
> möchte, kann ich ihn auf Nachfrage gerne doch noch
> abtippen.
>
> Der Beweis läuft wie folgt ab:
> 1) Es wird gezeigt, dass die komplexe Exponentialfunktion
> nicht injektiv ist und somit der Kern nicht alleine aus der
> Null bestehten kann.
Sei also [mm] $K:=\{z \in \IC: e^z=1\} [/mm] und [mm] $K_1:= [/mm] K [mm] \setminus \{0\}$
[/mm]
Dann ist [mm] K_1 \ne \emptyset.
[/mm]
>
> 2) Es wird gezeigt, dass alle Elemente des Kerns rein
> imaginäre Zahlen sind.
Also: [mm] $K_1 \subseteq \{iy: y \in \IR\}$
[/mm]
>
> 3)Somit gibt es auf jeden Fall Elemente si mit s>0, die im
> Kern liegen. Denn wenn si im Kern liegt, liegt ja auch
> immer -si im Kern(aufgrund von exp(si)exp(-si) = 1)
Daher gibt es ein y>o mit $iy [mm] \in K_1$
[/mm]
>
> Bis hierher habe ich soweit alles verstanden:
> Jetzt kommt die Stelle, die mir Probleme bereitet.
> Diese lautet wie folgt:
> "Da nach Lemma 2 keine Zahl iy [mm]\not=[/mm] 0 mit y [mm]\in[/mm] (-1, 1)
> zum Kern gehört,
Ist also iy [mm] \in K_1, [/mm] so ist |y| [mm] \ge [/mm] 1.
> gibt es wegen der Stetigkeit von exp(z)
> eine kleinste positive reelle Zahl [mm]\pi[/mm] mit [mm]2\pi i\in[/mm]
> Kern(exp)."
Wir wissen also: [mm] $M:=\{y \in \IR: y \ge 1 , e^{iy}=1 \} \ne \emptyset$
[/mm]
>
> Das hier erwähnte Lemma 2 lautet wie folgt:
> Die Funktion [mm]\IR \to S^1,[/mm] y [mm]\mapsto[/mm] exp(iy) hat im offenen
> Intervall (-1, 1) nur im Nullpunkt einen reellen Wert.
>
>
> Der Beweis geht dann natürlich noch weiter. Aber da habe
> ich soweit alles verstanden,denke ich.
> Mein Problem bei der Aussage ist nun folgendes: Ich
> verstehe nicht warum man überhaupt das Lemma 2 und die
> Stetigkeit der Exponentialfunktion braucht, um sagen zu
> können, dass es eine kleinste positive Zahl [mm]\pi[/mm] gibt mit
> der Eigenschaft [mm]2\pi i\in[/mm] Kern(exp).
Na dann mal los: wie garantierst Du , dass obige Menge M ein Minimum >0 hat ?
ich mach das so: M ist nach unten beschränkt, also ex. m:= inf M.
Dann gibt es eine Folge [mm] (y_n) [/mm] in M mit [mm] y_n \to [/mm] m.
Dann ist m [mm] \ge [/mm] 1 >0 und
[mm] e^{im}= [/mm] lim [mm] e^{iy_n}=1.
[/mm]
Hier brauchst Du die Stetigkeit der Exp-Funktion
Fazit : m [mm] \in [/mm] M.
FRED
> So von meiner Logik
> her, die ja offensichtlich falsch ist, hätte ich gedacht,
> dass man die Aussage auch ohne Lemma 2 und die Stetigkeit
> hätte treffen können.
> Bezüglich der Stetigkeit habe ich rausgefunden, dass man
> damit weiß , dass der Kern abgeschlossen ist. Aber was
> habe ich davon, dass der Kern abgeschlossen ist?
> Mit dem Lemma 2 weiß ich in diesem Zusammenhang
> überhaupt nichts anzufangen.
>
> Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen auch wenn das jetzt
> ein langer Text war??
>
> Vielen liebe Grüße,Yonca!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Mi 15.06.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo fred und alle anderen,
siehe weiter unten:
> > Hallo an alle,
> >
> > habe eine Frage zu einem Beweis bei mir im Buch. Und zwar
> > geht es darum zu beweisen, dass der Kern der komplexen
> > Exponentialfunktion der Menge [mm]2\pi i\IZ[/mm] entspricht. Ich
> > kann den Beweis eigentlich recht gut nachvollziehen bis auf
> > einen Punkt.
> >
> > Da ich mir nicht sicher bin, ob es sinnvoll ist den ganzen
> > Beweis abzutippen, werde ich einfach mal so probieren das
> > Problem zu erläutern. Falls jemand den ganzen Beweis lesen
> > möchte, kann ich ihn auf Nachfrage gerne doch noch
> > abtippen.
> >
> > Der Beweis läuft wie folgt ab:
> > 1) Es wird gezeigt, dass die komplexe
> Exponentialfunktion
> > nicht injektiv ist und somit der Kern nicht alleine aus der
> > Null bestehten kann.
>
> Sei also [mm]$K:=\{z \in \IC: e^z=1\}[/mm] und [mm]$K_1:=[/mm] K [mm]\setminus \{0\}$[/mm]
>
> Dann ist [mm]K_1 \ne \emptyset.[/mm]
>
>
> >
> > 2) Es wird gezeigt, dass alle Elemente des Kerns rein
> > imaginäre Zahlen sind.
>
> Also: [mm]K_1 \subseteq \{iy: y \in \IR\}[/mm]
>
>
> >
> > 3)Somit gibt es auf jeden Fall Elemente si mit s>0, die im
> > Kern liegen. Denn wenn si im Kern liegt, liegt ja auch
> > immer -si im Kern(aufgrund von exp(si)exp(-si) = 1)
>
>
> Daher gibt es ein y>o mit [mm]iy \in K_1[/mm]
> >
> > Bis hierher habe ich soweit alles verstanden:
> > Jetzt kommt die Stelle, die mir Probleme bereitet.
> > Diese lautet wie folgt:
> > "Da nach Lemma 2 keine Zahl iy [mm]\not=[/mm] 0 mit y [mm]\in[/mm] (-1,
> 1)
> > zum Kern gehört,
>
> Ist also iy [mm]\in K_1,[/mm] so ist |y| [mm]\ge[/mm] 1.
>
>
>
>
>
> > gibt es wegen der Stetigkeit von exp(z)
> > eine kleinste positive reelle Zahl [mm]\pi[/mm] mit [mm]2\pi i\in[/mm]
> > Kern(exp)."
>
>
> Wir wissen also: [mm]M:=\{y \in \IR: y \ge 1 , e^{iy}=1 \} \ne \emptyset[/mm]
>
>
> >
> > Das hier erwähnte Lemma 2 lautet wie folgt:
> > Die Funktion [mm]\IR \to S^1,[/mm] y [mm]\mapsto[/mm] exp(iy) hat im
> offenen
> > Intervall (-1, 1) nur im Nullpunkt einen reellen Wert.
> >
> >
> > Der Beweis geht dann natürlich noch weiter. Aber da habe
> > ich soweit alles verstanden,denke ich.
> > Mein Problem bei der Aussage ist nun folgendes: Ich
> > verstehe nicht warum man überhaupt das Lemma 2 und die
> > Stetigkeit der Exponentialfunktion braucht, um sagen zu
> > können, dass es eine kleinste positive Zahl [mm]\pi[/mm] gibt mit
> > der Eigenschaft [mm]2\pi i\in[/mm] Kern(exp).
>
>
> Na dann mal los: wie garantierst Du , dass obige Menge M
> ein Minimum >0 hat ?
>
> ich mach das so: M ist nach unten beschränkt, also ex. m:=
> inf M.
>
> Dann gibt es eine Folge [mm](y_n)[/mm] in M mit [mm]y_n \to[/mm] m.
Woher weiß man denn, dass so eine Folge auf jeden Fall existiert?
Könnte es nicht auch sein, dass wenn das Infimum nicht zu M dazugehört, es so eine Folge in M überhaupt nicht gibt?
>
> Dann ist m [mm]\ge[/mm] 1 >0 und
>
> [mm]e^{im}=[/mm] lim [mm]e^{iy_n}=1.[/mm]
woher weiß ich denn, dass dieses gleich 1 ist? [mm] y_n [/mm] konvergiert ja gegen das Infimum m. Aber, falls dieses nicht zu M dazugehört weiß ich doch den Wert von lim [mm]e^{iy_n}[/mm] gar nicht, oder?
> Hier brauchst Du die Stetigkeit der Exp-Funktion
>
> Fazit : m [mm]\in[/mm] M.
>
> FRED
>
Ok, du hast also gezeigt, dass das Infimum zur Menge M dazugehört und dementsprechend ist es ein Minimum, richtig?
Habe beim Prof nachgefragt und der hat gesagt, dass aufgrund der Stetigkeit von exp der Kern abgeschlossen ist.
Ich denke mal das gilt aufgrund des Satzes: "Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen sind abgeschlossen." Stimmt das so?
Jedenfalls würde ich deshalb gerne wissen, wie man über die Abgeschlossenheit begründen kann, dass dieses Minimum existiert? Irgendwie hab ich das Gefühl, dass das mit deiner (freds) Begründung zusammenhängt, da eine Menge ja abgeschlossen ist, wenn jede konvergente Folge in der Menge gegen einen Wert konvergiert, der auch in der Menge liegt.
Aber irgendwie hab ich nicht so den richtigen Durchblick :0(
>
> > So von meiner Logik
> > her, die ja offensichtlich falsch ist, hätte ich gedacht,
> > dass man die Aussage auch ohne Lemma 2 und die Stetigkeit
> > hätte treffen können.
> > Bezüglich der Stetigkeit habe ich rausgefunden, dass man
> > damit weiß , dass der Kern abgeschlossen ist. Aber was
> > habe ich davon, dass der Kern abgeschlossen ist?
> > Mit dem Lemma 2 weiß ich in diesem Zusammenhang
> > überhaupt nichts anzufangen.
> >
> > Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen auch wenn das jetzt
> > ein langer Text war??
> >
> > Vielen liebe Grüße,Yonca!
>
Lieben Gruß,Y.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Mi 15.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred und alle anderen,
>
> siehe weiter unten:
>
> > > Hallo an alle,
> > >
> > > habe eine Frage zu einem Beweis bei mir im Buch. Und zwar
> > > geht es darum zu beweisen, dass der Kern der komplexen
> > > Exponentialfunktion der Menge [mm]2\pi i\IZ[/mm] entspricht. Ich
> > > kann den Beweis eigentlich recht gut nachvollziehen bis auf
> > > einen Punkt.
> > >
> > > Da ich mir nicht sicher bin, ob es sinnvoll ist den ganzen
> > > Beweis abzutippen, werde ich einfach mal so probieren das
> > > Problem zu erläutern. Falls jemand den ganzen Beweis lesen
> > > möchte, kann ich ihn auf Nachfrage gerne doch noch
> > > abtippen.
> > >
> > > Der Beweis läuft wie folgt ab:
> > > 1) Es wird gezeigt, dass die komplexe
> > Exponentialfunktion
> > > nicht injektiv ist und somit der Kern nicht alleine aus der
> > > Null bestehten kann.
> >
> > Sei also [mm]$K:=\{z \in \IC: e^z=1\}[/mm] und [mm]$K_1:=[/mm] K [mm]\setminus \{0\}$[/mm]
>
> >
> > Dann ist [mm]K_1 \ne \emptyset.[/mm]
> >
> >
> > >
> > > 2) Es wird gezeigt, dass alle Elemente des Kerns rein
> > > imaginäre Zahlen sind.
> >
> > Also: [mm]K_1 \subseteq \{iy: y \in \IR\}[/mm]
> >
> >
> > >
> > > 3)Somit gibt es auf jeden Fall Elemente si mit s>0, die im
> > > Kern liegen. Denn wenn si im Kern liegt, liegt ja auch
> > > immer -si im Kern(aufgrund von exp(si)exp(-si) = 1)
> >
> >
> > Daher gibt es ein y>o mit [mm]iy \in K_1[/mm]
> > >
> > > Bis hierher habe ich soweit alles verstanden:
> > > Jetzt kommt die Stelle, die mir Probleme bereitet.
> > > Diese lautet wie folgt:
> > > "Da nach Lemma 2 keine Zahl iy [mm]\not=[/mm] 0 mit y [mm]\in[/mm]
> (-1,
> > 1)
> > > zum Kern gehört,
> >
> > Ist also iy [mm]\in K_1,[/mm] so ist |y| [mm]\ge[/mm] 1.
> >
> >
> >
> >
> >
> > > gibt es wegen der Stetigkeit von exp(z)
> > > eine kleinste positive reelle Zahl [mm]\pi[/mm] mit [mm]2\pi i\in[/mm]
> > > Kern(exp)."
> >
> >
> > Wir wissen also: [mm]M:=\{y \in \IR: y \ge 1 , e^{iy}=1 \} \ne \emptyset[/mm]
>
> >
> >
> > >
> > > Das hier erwähnte Lemma 2 lautet wie folgt:
> > > Die Funktion [mm]\IR \to S^1,[/mm] y [mm]\mapsto[/mm] exp(iy) hat im
> > offenen
> > > Intervall (-1, 1) nur im Nullpunkt einen reellen Wert.
> > >
> > >
> > > Der Beweis geht dann natürlich noch weiter. Aber da habe
> > > ich soweit alles verstanden,denke ich.
> > > Mein Problem bei der Aussage ist nun folgendes: Ich
> > > verstehe nicht warum man überhaupt das Lemma 2 und die
> > > Stetigkeit der Exponentialfunktion braucht, um sagen zu
> > > können, dass es eine kleinste positive Zahl [mm]\pi[/mm] gibt mit
> > > der Eigenschaft [mm]2\pi i\in[/mm] Kern(exp).
> >
> >
> > Na dann mal los: wie garantierst Du , dass obige Menge M
> > ein Minimum >0 hat ?
> >
> > ich mach das so: M ist nach unten beschränkt, also ex. m:=
> > inf M.
> >
> > Dann gibt es eine Folge [mm](y_n)[/mm] in M mit [mm]y_n \to[/mm] m.
>
> Woher weiß man denn, dass so eine Folge auf jeden Fall
> existiert?
> Könnte es nicht auch sein, dass wenn das Infimum nicht zu
> M dazugehört, es so eine Folge in M überhaupt nicht
> gibt?
So eine Folge gibt es ! Ist n [mm] \in \IN, [/mm] so ex. ein [mm] y_n \in [/mm] M mit: [mm] $y_n
Mach Dir das klar !
Somit: $m [mm] \le y_n [/mm] < m+ [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm] für jedes n. Jetzt n [mm] \to \infty
[/mm]
>
> >
> > Dann ist m [mm]\ge[/mm] 1 >0 und
> >
> > [mm]e^{im}=[/mm] lim [mm]e^{iy_n}=1.[/mm]
>
> woher weiß ich denn, dass dieses gleich 1 ist? [mm]y_n[/mm]
> konvergiert ja gegen das Infimum m. Aber, falls dieses
> nicht zu M dazugehört weiß ich doch den Wert von lim
> [mm]e^{iy_n}[/mm] gar nicht, oder?
Es ist doch [mm] y_n \in [/mm] M , also [mm]e^{iy_n}=1.[/mm]
>
> > Hier brauchst Du die Stetigkeit der Exp-Funktion
> >
> > Fazit : m [mm]\in[/mm] M.
> >
> > FRED
> >
>
> Ok, du hast also gezeigt, dass das Infimum zur Menge M
> dazugehört und dementsprechend ist es ein Minimum,
> richtig?
Ja
>
> Habe beim Prof nachgefragt und der hat gesagt, dass
> aufgrund der Stetigkeit von exp der Kern abgeschlossen
> ist.
> Ich denke mal das gilt aufgrund des Satzes: "Urbilder
> abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen sind
> abgeschlossen." Stimmt das so?
>
> Jedenfalls würde ich deshalb gerne wissen, wie man über
> die Abgeschlossenheit begründen kann, dass dieses Minimum
> existiert? Irgendwie hab ich das Gefühl, dass das mit
> deiner (freds) Begründung zusammenhängt, da eine Menge ja
> abgeschlossen ist, wenn jede konvergente Folge in der Menge
> gegen einen Wert konvergiert, der auch in der Menge liegt.
> Aber irgendwie hab ich nicht so den richtigen Durchblick
> :0(
Sei [mm] $K:=\{z \in \IC: e^z=1\}$
[/mm]
Sei [mm] (z_n) [/mm] eine konvergente Folge in K und [mm] z_0 [/mm] ihr Limes.
Stetigkeit der Exp-Fkt. [mm] \Rightarrow e^{z_n} \to e^{z_0}
[/mm]
Da [mm] z_n \in [/mm] K, ist [mm] e^{z_n}=1. [/mm] Somit [mm] e^{z_0}=1, [/mm] also [mm] z_0 \in [/mm] K.
FRED
>
> >
> > > So von meiner Logik
> > > her, die ja offensichtlich falsch ist, hätte ich gedacht,
> > > dass man die Aussage auch ohne Lemma 2 und die Stetigkeit
> > > hätte treffen können.
> > > Bezüglich der Stetigkeit habe ich rausgefunden, dass man
> > > damit weiß , dass der Kern abgeschlossen ist. Aber was
> > > habe ich davon, dass der Kern abgeschlossen ist?
> > > Mit dem Lemma 2 weiß ich in diesem Zusammenhang
> > > überhaupt nichts anzufangen.
> > >
> > > Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen auch wenn das jetzt
> > > ein langer Text war??
> > >
> > > Vielen liebe Grüße,Yonca!
> >
> Lieben Gruß,Y.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Do 16.06.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo nochmal,
siehe Fettgedrucktes weiter unten!!
> > Hallo fred und alle anderen,
> >
> > siehe weiter unten:
> >
> > > > Hallo an alle,
> > > >
> > > > habe eine Frage zu einem Beweis bei mir im Buch. Und zwar
> > > > geht es darum zu beweisen, dass der Kern der komplexen
> > > > Exponentialfunktion der Menge [mm]2\pi i\IZ[/mm] entspricht. Ich
> > > > kann den Beweis eigentlich recht gut nachvollziehen bis auf
> > > > einen Punkt.
> > > >
> > > > Da ich mir nicht sicher bin, ob es sinnvoll ist den ganzen
> > > > Beweis abzutippen, werde ich einfach mal so probieren das
> > > > Problem zu erläutern. Falls jemand den ganzen Beweis lesen
> > > > möchte, kann ich ihn auf Nachfrage gerne doch noch
> > > > abtippen.
> > > >
> > > > Der Beweis läuft wie folgt ab:
> > > > 1) Es wird gezeigt, dass die komplexe
> > > Exponentialfunktion
> > > > nicht injektiv ist und somit der Kern nicht alleine aus der
> > > > Null bestehten kann.
> > >
> > > Sei also [mm]$K:=\{z \in \IC: e^z=1\}[/mm] und [mm]$K_1:=[/mm] K [mm]\setminus \{0\}$[/mm]
>
> >
> > >
> > > Dann ist [mm]K_1 \ne \emptyset.[/mm]
> > >
> > >
> > > >
> > > > 2) Es wird gezeigt, dass alle Elemente des Kerns rein
> > > > imaginäre Zahlen sind.
> > >
> > > Also: [mm]K_1 \subseteq \{iy: y \in \IR\}[/mm]
> > >
> > >
> > > >
> > > > 3)Somit gibt es auf jeden Fall Elemente si mit s>0, die im
> > > > Kern liegen. Denn wenn si im Kern liegt, liegt ja auch
> > > > immer -si im Kern(aufgrund von exp(si)exp(-si) = 1)
> > >
> > >
> > > Daher gibt es ein y>o mit [mm]iy \in K_1[/mm]
> > > >
> > > > Bis hierher habe ich soweit alles verstanden:
> > > > Jetzt kommt die Stelle, die mir Probleme
> bereitet.
> > > > Diese lautet wie folgt:
> > > > "Da nach Lemma 2 keine Zahl iy [mm]\not=[/mm] 0 mit y [mm]\in[/mm]
> > (-1,
> > > 1)
> > > > zum Kern gehört,
> > >
> > > Ist also iy [mm]\in K_1,[/mm] so ist |y| [mm]\ge[/mm] 1.
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > > gibt es wegen der Stetigkeit von exp(z)
> > > > eine kleinste positive reelle Zahl [mm]\pi[/mm] mit [mm]2\pi i\in[/mm]
> > > > Kern(exp)."
> > >
> > >
> > > Wir wissen also: [mm]M:=\{y \in \IR: y \ge 1 , e^{iy}=1 \} \ne \emptyset[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > >
> > > > Das hier erwähnte Lemma 2 lautet wie folgt:
> > > > Die Funktion [mm]\IR \to S^1,[/mm] y [mm]\mapsto[/mm] exp(iy) hat
> im
> > > offenen
> > > > Intervall (-1, 1) nur im Nullpunkt einen reellen Wert.
> > > >
> > > >
> > > > Der Beweis geht dann natürlich noch weiter. Aber da habe
> > > > ich soweit alles verstanden,denke ich.
> > > > Mein Problem bei der Aussage ist nun folgendes: Ich
> > > > verstehe nicht warum man überhaupt das Lemma 2 und die
> > > > Stetigkeit der Exponentialfunktion braucht, um sagen zu
> > > > können, dass es eine kleinste positive Zahl [mm]\pi[/mm] gibt mit
> > > > der Eigenschaft [mm]2\pi i\in[/mm] Kern(exp).
> > >
> > >
> > > Na dann mal los: wie garantierst Du , dass obige Menge M
> > > ein Minimum >0 hat ?
> > >
> > > ich mach das so: M ist nach unten beschränkt, also ex. m:=
> > > inf M.
> > >
> > > Dann gibt es eine Folge [mm](y_n)[/mm] in M mit [mm]y_n \to[/mm] m.
> >
> > Woher weiß man denn, dass so eine Folge auf jeden Fall
> > existiert?
> > Könnte es nicht auch sein, dass wenn das Infimum nicht
> zu
> > M dazugehört, es so eine Folge in M überhaupt nicht
> > gibt?
>
> So eine Folge gibt es ! Ist n [mm]\in \IN,[/mm] so ex. ein [mm]y_n \in[/mm] M
> mit: [mm]y_n
>
> Mach Dir das klar !
>
> Somit: [mm]m \le y_n < m+ \bruch{1}{n}[/mm] für jedes n. Jetzt n
> [mm]\to \infty[/mm]
> >
kann ich mir das dann so vorstellen, dass unter Umständen eine Folge, die gegen m konvergiert, so aussieht, dass ab einem bestimmten Index alle Folgenglieder der Folge gleich m sind?
> > >
> > > Dann ist m [mm]\ge[/mm] 1 >0 und
> > >
> > > [mm]e^{im}=[/mm] lim [mm]e^{iy_n}=1.[/mm]
> >
> > woher weiß ich denn, dass dieses gleich 1 ist? [mm]y_n[/mm]
> > konvergiert ja gegen das Infimum m. Aber, falls dieses
> > nicht zu M dazugehört weiß ich doch den Wert von lim
> > [mm]e^{iy_n}[/mm] gar nicht, oder?
>
>
> Es ist doch [mm]y_n \in[/mm] M , also [mm]e^{iy_n}=1.[/mm]
>
>
> >
> > > Hier brauchst Du die Stetigkeit der Exp-Funktion
> > >
> > > Fazit : m [mm]\in[/mm] M.
> > >
> > > FRED
> > >
> >
> > Ok, du hast also gezeigt, dass das Infimum zur Menge M
> > dazugehört und dementsprechend ist es ein Minimum,
> > richtig?
>
> Ja
>
>
> >
> > Habe beim Prof nachgefragt und der hat gesagt, dass
> > aufgrund der Stetigkeit von exp der Kern abgeschlossen
> > ist.
> > Ich denke mal das gilt aufgrund des Satzes: "Urbilder
> > abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen sind
> > abgeschlossen." Stimmt das so?
> >
> > Jedenfalls würde ich deshalb gerne wissen, wie man
> über
> > die Abgeschlossenheit begründen kann, dass dieses
> Minimum
> > existiert? Irgendwie hab ich das Gefühl, dass das mit
> > deiner (freds) Begründung zusammenhängt, da eine Menge
> ja
> > abgeschlossen ist, wenn jede konvergente Folge in der
> Menge
> > gegen einen Wert konvergiert, der auch in der Menge
> liegt.
> > Aber irgendwie hab ich nicht so den richtigen
> Durchblick
> > :0(
>
> Sei [mm]K:=\{z \in \IC: e^z=1\}[/mm]
>
> Sei [mm](z_n)[/mm] eine konvergente Folge in K und [mm]z_0[/mm] ihr Limes.
>
> Stetigkeit der Exp-Fkt. [mm]\Rightarrow e^{z_n} \to e^{z_0}[/mm]
>
> Da [mm]z_n \in[/mm] K, ist [mm]e^{z_n}=1.[/mm] Somit [mm]e^{z_0}=1,[/mm] also [mm]z_0 \in[/mm]
> K.
>
> FRED
> >
Also ist dieser Beweis hier doch ein wenig anders als der den du zuerst beschrieben hast, Fred? Oder?
Hier wird ja im Prinzip gezeigt, dass jede beliebige konvergente Folge aus dem Kern auf jeden Fall gegen einen Wert konvergiert, welcher auch im Kern liegt. Und zwar kann man das ja aufgrund der Stetigkeit zeigen.Denn nur im Fall der Stetigkeit ist der Grenzwert der Funktionswerte von [mm] z_n [/mm] gleich dem Funktionswert in [mm] z_0 [/mm] . Hier in diesem Fall habe ich ja die Folge [mm] z_n, [/mm] welche gegen [mm] z_0 [/mm] konvergiert. Die [mm] z_n [/mm] liegen ja im Kern und dementsprechend gilt für sie immer [mm] exp(z^n)=1 [/mm] und dementsprechen also auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}exp(z^n)=1. [/mm] Da die Funktion jetzt stetig ist gilt,dass dieser Grenzwert gleich [mm] exp(z_0) [/mm] ist. Und damit liegt auch [mm] z_0 [/mm] im Kern drinnen. Damit wurde jetzt gezeigt, dass der Kern abgeschlossen ist. Habe ich das alles richtig so verstanden?
Was ich mich jetzt aber wieder Frage ist folgendes: Ich wollte ja zeigen, dass es eine minimale Zahl y mit [mm] y\ge0 [/mm] und exp(iy) = 1 gibt. Und wenn jetzt irgend eine Menge abgeschlossen und beschränkt ist, dann besitzt sie ja auch ein Minimum bzw. ein Maximum. Hier in meinem Beweis ist es ja jetzt so, dass alle die Menge M= { [mm] y\in \IR [/mm] | [mm] y\ge1, [/mm] exp(yi)=1 } nach unten beschränkt ist. Der Kern ist jetzt ja aber insgesamt abgeschlossen; also ich meine der Kern hat jetzt ja auch die Null als Element und auch Elemente bei denen der Imaginärteil negativ ist. Wieso kann ich dann sagen, dass die Menge M ein Minimum hat. Außerdem haben ist der Kern ja auch eine Menge aus rein imaginären Zahlen, wohingegen die Menge M aus reellen Zahlen besteht.
Wie kann ich das alles miteinander in Zusammenhang bringen?
Ich hoffe, ich habe mich einigermaßen verständlich ausgedrückt, was mein Problem ist.
Grüße,Y.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Do 16.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> siehe Fettgedrucktes weiter unten!!
>
> > > Hallo fred und alle anderen,
> > >
> > > siehe weiter unten:
> > >
> > > > > Hallo an alle,
> > > > >
> > > > > habe eine Frage zu einem Beweis bei mir im Buch. Und zwar
> > > > > geht es darum zu beweisen, dass der Kern der komplexen
> > > > > Exponentialfunktion der Menge [mm]2\pi i\IZ[/mm] entspricht. Ich
> > > > > kann den Beweis eigentlich recht gut nachvollziehen bis auf
> > > > > einen Punkt.
> > > > >
> > > > > Da ich mir nicht sicher bin, ob es sinnvoll ist den ganzen
> > > > > Beweis abzutippen, werde ich einfach mal so probieren das
> > > > > Problem zu erläutern. Falls jemand den ganzen Beweis lesen
> > > > > möchte, kann ich ihn auf Nachfrage gerne doch noch
> > > > > abtippen.
> > > > >
> > > > > Der Beweis läuft wie folgt ab:
> > > > > 1) Es wird gezeigt, dass die komplexe
> > > > Exponentialfunktion
> > > > > nicht injektiv ist und somit der Kern nicht alleine aus der
> > > > > Null bestehten kann.
> > > >
> > > > Sei also [mm]$K:=\{z \in \IC: e^z=1\}[/mm] und [mm]$K_1:=[/mm] K [mm]\setminus \{0\}$[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Dann ist [mm]K_1 \ne \emptyset.[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > 2) Es wird gezeigt, dass alle Elemente des Kerns rein
> > > > > imaginäre Zahlen sind.
> > > >
> > > > Also: [mm]K_1 \subseteq \{iy: y \in \IR\}[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > 3)Somit gibt es auf jeden Fall Elemente si mit s>0, die im
> > > > > Kern liegen. Denn wenn si im Kern liegt, liegt ja auch
> > > > > immer -si im Kern(aufgrund von exp(si)exp(-si) = 1)
> > > >
> > > >
> > > > Daher gibt es ein y>o mit [mm]iy \in K_1[/mm]
> > > > >
> > > > > Bis hierher habe ich soweit alles verstanden:
> > > > > Jetzt kommt die Stelle, die mir Probleme
> > bereitet.
> > > > > Diese lautet wie folgt:
> > > > > "Da nach Lemma 2 keine Zahl iy [mm]\not=[/mm] 0 mit y
> [mm]\in[/mm]
> > > (-1,
> > > > 1)
> > > > > zum Kern gehört,
> > > >
> > > > Ist also iy [mm]\in K_1,[/mm] so ist |y| [mm]\ge[/mm] 1.
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > > gibt es wegen der Stetigkeit von exp(z)
> > > > > eine kleinste positive reelle Zahl [mm]\pi[/mm] mit [mm]2\pi i\in[/mm]
> > > > > Kern(exp)."
> > > >
> > > >
> > > > Wir wissen also: [mm]M:=\{y \in \IR: y \ge 1 , e^{iy}=1 \} \ne \emptyset[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Das hier erwähnte Lemma 2 lautet wie folgt:
> > > > > Die Funktion [mm]\IR \to S^1,[/mm] y [mm]\mapsto[/mm] exp(iy)
> hat
> > im
> > > > offenen
> > > > > Intervall (-1, 1) nur im Nullpunkt einen reellen Wert.
> > > > >
> > > > >
> > > > > Der Beweis geht dann natürlich noch weiter. Aber da habe
> > > > > ich soweit alles verstanden,denke ich.
> > > > > Mein Problem bei der Aussage ist nun folgendes: Ich
> > > > > verstehe nicht warum man überhaupt das Lemma 2 und die
> > > > > Stetigkeit der Exponentialfunktion braucht, um sagen zu
> > > > > können, dass es eine kleinste positive Zahl [mm]\pi[/mm] gibt mit
> > > > > der Eigenschaft [mm]2\pi i\in[/mm] Kern(exp).
> > > >
> > > >
> > > > Na dann mal los: wie garantierst Du , dass obige Menge M
> > > > ein Minimum >0 hat ?
> > > >
> > > > ich mach das so: M ist nach unten beschränkt, also ex. m:=
> > > > inf M.
> > > >
> > > > Dann gibt es eine Folge [mm](y_n)[/mm] in M mit [mm]y_n \to[/mm] m.
> > >
> > > Woher weiß man denn, dass so eine Folge auf jeden Fall
> > > existiert?
> > > Könnte es nicht auch sein, dass wenn das Infimum
> nicht
> > zu
> > > M dazugehört, es so eine Folge in M überhaupt
> nicht
> > > gibt?
> >
> > So eine Folge gibt es ! Ist n [mm]\in \IN,[/mm] so ex. ein [mm]y_n \in[/mm] M
> > mit: [mm]y_n
> >
> > Mach Dir das klar !
> >
> > Somit: [mm]m \le y_n < m+ \bruch{1}{n}[/mm] für jedes n. Jetzt n
> > [mm]\to \infty[/mm]
> > >
>
> kann ich mir das dann so vorstellen, dass unter Umständen
> eine Folge, die gegen m konvergiert, so aussieht, dass ab
> einem bestimmten Index alle Folgenglieder der Folge gleich
> m sind?
>
> > > >
> > > > Dann ist m [mm]\ge[/mm] 1 >0 und
> > > >
> > > > [mm]e^{im}=[/mm] lim [mm]e^{iy_n}=1.[/mm]
> > >
> > > woher weiß ich denn, dass dieses gleich 1 ist? [mm]y_n[/mm]
> > > konvergiert ja gegen das Infimum m. Aber, falls
> dieses
> > > nicht zu M dazugehört weiß ich doch den Wert von
> lim
> > > [mm]e^{iy_n}[/mm] gar nicht, oder?
> >
> >
> > Es ist doch [mm]y_n \in[/mm] M , also [mm]e^{iy_n}=1.[/mm]
> >
> >
> > >
> > > > Hier brauchst Du die Stetigkeit der Exp-Funktion
> > > >
> > > > Fazit : m [mm]\in[/mm] M.
> > > >
> > > > FRED
> > > >
> > >
> > > Ok, du hast also gezeigt, dass das Infimum zur Menge M
> > > dazugehört und dementsprechend ist es ein Minimum,
> > > richtig?
> >
> > Ja
> >
> >
> > >
> > > Habe beim Prof nachgefragt und der hat gesagt, dass
> > > aufgrund der Stetigkeit von exp der Kern
> abgeschlossen
> > > ist.
> > > Ich denke mal das gilt aufgrund des Satzes:
> "Urbilder
> > > abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen
> sind
> > > abgeschlossen." Stimmt das so?
> > >
> > > Jedenfalls würde ich deshalb gerne wissen, wie man
> > über
> > > die Abgeschlossenheit begründen kann, dass dieses
> > Minimum
> > > existiert? Irgendwie hab ich das Gefühl, dass das
> mit
> > > deiner (freds) Begründung zusammenhängt, da eine
> Menge
> > ja
> > > abgeschlossen ist, wenn jede konvergente Folge in
> der
> > Menge
> > > gegen einen Wert konvergiert, der auch in der Menge
> > liegt.
> > > Aber irgendwie hab ich nicht so den richtigen
> > Durchblick
> > > :0(
> >
> > Sei [mm]K:=\{z \in \IC: e^z=1\}[/mm]
> >
> > Sei [mm](z_n)[/mm] eine konvergente Folge in K und [mm]z_0[/mm] ihr Limes.
> >
> > Stetigkeit der Exp-Fkt. [mm]\Rightarrow e^{z_n} \to e^{z_0}[/mm]
>
> >
> > Da [mm]z_n \in[/mm] K, ist [mm]e^{z_n}=1.[/mm] Somit [mm]e^{z_0}=1,[/mm] also [mm]z_0 \in[/mm]
> > K.
> >
> > FRED
> > >
>
> Also ist dieser Beweis hier doch ein wenig anders als der
> den du zuerst beschrieben hast, Fred? Oder?
> Hier wird ja im Prinzip gezeigt, dass jede beliebige
> konvergente Folge aus dem Kern auf jeden Fall gegen einen
> Wert konvergiert, welcher auch im Kern liegt. Und zwar kann
> man das ja aufgrund der Stetigkeit zeigen.Denn nur im Fall
> der Stetigkeit ist der Grenzwert der Funktionswerte von [mm]z_n[/mm]
> gleich dem Funktionswert in [mm]z_0[/mm] . Hier in diesem Fall habe
> ich ja die Folge [mm]z_n,[/mm] welche gegen [mm]z_0[/mm] konvergiert. Die [mm]z_n[/mm]
> liegen ja im Kern und dementsprechend gilt für sie immer
> [mm]exp(z^n)=1[/mm] und dementsprechen also auch
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}exp(z^n)=1.[/mm] Da die Funktion
> jetzt stetig ist gilt,dass dieser Grenzwert gleich [mm]exp(z_0)[/mm]
> ist. Und damit liegt auch [mm]z_0[/mm] im Kern drinnen. Damit wurde
> jetzt gezeigt, dass der Kern abgeschlossen ist. Habe ich
> das alles richtig so verstanden?
Ich denke schon.
>
> Was ich mich jetzt aber wieder Frage ist folgendes: Ich
> wollte ja zeigen, dass es eine minimale Zahl y mit [mm]y\ge0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> und exp(iy) = 1 gibt. Und wenn jetzt irgend eine Menge
> abgeschlossen und beschränkt ist, dann besitzt sie ja auch
> ein Minimum bzw. ein Maximum. Hier in meinem Beweis ist es
> ja jetzt so, dass alle die Menge M= { [mm]y\in \IR[/mm] | [mm]y\ge1,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
exp(yi)=1 } > nach unten beschränkt ist. Der Kern ist jetzt [/b]
> ja aber insgesamt abgeschlossen; also ich meine der Kern
> hat jetzt ja auch die Null als Element und auch Elemente
> bei denen der Imaginärteil negativ ist. Wieso kann ich
> dann sagen, dass die Menge M ein Minimum hat. Außerdem
Das ist $ M= \{ y \in \IR:y \ge1 , e^{iy}=1\},$
Dass M ein Minimum hat, habe ich Dir gestern vor gemacht.
> haben ist der Kern ja auch eine Menge aus rein imaginären
> Zahlen, wohingegen die Menge M aus reellen Zahlen besteht.
> Wie kann ich das alles miteinander in Zusammenhang
> bringen?
Wieder: $ M= \{ y \in \IR:y \ge1 , e^{iy}=1\},$
Sei m das Minimum von M. Wir wissen: m>0 und e^{im}=1,
somit ist im ein Element des kerns. Ist k>0 und e^{ik}=1, so muß also m \le k sein.
>
>
> Ich hoffe, ich habe mich einigermaßen verständlich
> ausgedrückt, was mein Problem ist.
So richtig hab ich nicht begriffen, was Dir Schwierigkeiten macht. Kann aber auch an mir liegen.
FRED
> Grüße,Y.
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