Kern einer Abbildung gleich de < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Mo 17.10.2011 | | Autor: | xyz86 |
| Aufgabe | | Suchen Sie eine lineare Abbildung f : R2 --> R2 für die gilt: Ker(f) = Im(f). |
Hallo,
mir ist klar das die Dimensionen von Kern und Bild gleich sind, wenn Kern und Bild gleich ist. Da wir im R2 sind sollte es also möglich sein. Ich finde aber keine Abbildung wo Kern und Bild gleich ist.
Hat jemand einen Ansatz für mich? Gibt es überhaupt so eine lineare Abbildung?
Danke schonmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Mo 17.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Suchen Sie eine lineare Abbildung f : R2 --> R2 für die
> gilt: Ker(f) = Im(f).
> Hallo,
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> mir ist klar das die Dimensionen von Kern und Bild gleich
> sind, wenn Kern und Bild gleich ist. Da wir im R2 sind
> sollte es also möglich sein. Ich finde aber keine
> Abbildung wo Kern und Bild gleich ist.
>
> Hat jemand einen Ansatz für mich? Gibt es überhaupt so
> eine lineare Abbildung?
Ja. Nehmen wir mal an f ist eine solche Abbildung. Ist dann x [mm] \in \IR^2, [/mm] so ist f(x) [mm] \in [/mm] Im(f)=ker(f). Somit ist [mm] f^2(x)=0.
[/mm]
Ahaaaa ! Es muß also gelten: [mm] f^2=0.
[/mm]
Such also mal nach einer 2x2-Matrix A mit [mm] A^2=0.
[/mm]
FRED
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> Danke schonmal.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Mo 17.10.2011 | | Autor: | xyz86 |
Währe somit folgende Abbildung Korrekt: [mm] f:\pmat{ x \\ y} \Rightarrow\pmat{ 0 \\ 0}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Mo 17.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Währe somit folgende Abbildung Korrekt: [mm]f:\pmat{ x \\ y} \Rightarrow\pmat{ 0 \\ 0}[/mm]
Wenn Du meinst [mm]f:\pmat{ x \\ y} := \pmat{ 0 \\ 0}[/mm] , so stimmt es nicht, denn
ker(f)= [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] Im(f)=\{ \pmat{ 0 \\ 0} \}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Mo 17.10.2011 | | Autor: | xyz86 |
Das meinte ich. mh würde auch eine Abbildung auf sich selber gehen als [mm] F\vektor{x \\ y}:=\vektor{x \\ y}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Mo 17.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Das meinte ich. mh würde auch eine Abbildung auf sich
> selber gehen als [mm]F\vektor{x \\ y}:=\vektor{x \\ y}[/mm]
Nein, denn
[mm] ker(F)=\{\vektor{0 \\ 0} \} [/mm] und [mm] im(F)=\IR^2.
[/mm]
Du scheinst völlig blind im Nebel zu stochern.
Ist Dir der Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen klar ?
Wenn ja, so suchen wir doch eine Matrix A [mm] mitA^2=0. [/mm] Welche Eigenwerte hat A ? Tipp: Du kannst A als obere Dreiecksmatrix ansetzen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mo 17.10.2011 | | Autor: | xyz86 |
Ok was mich zugegebener Maßen verwirrt ist das mit [mm] $A^2=0$. [/mm] Das bedeutet doch Matrix x Matrix und da wir eine 2x2 Matrix haben kommt auch wieder ne 2x2 raus. Da stehe ich gerade echt auf den schlauch.
Der zusammenhang zwischen Linearer Abbildung und Matrix ist mir denke ich schon klar:
[mm] f(x)=Ax=\pmat{ a & b \\ c & d }*\vektor{x \\ y}=\pmat{ ax+by \\ cx+dy }. [/mm]
ax+by=0 und cx+dy=0, dann erhalte ich den Kern und dr muss gleich den unabhängigen Vektoren der Matrix sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Mo 17.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
der geduldige fred hat jetzt mehrfach gesagt [mm] f^2=0 [/mm] also [mm] A^2=0
[/mm]
hast du verstanden warum>?
kannst du von ner allgemeinen matrix [mm] A^2 [/mm] hinschreiben?
Tu das! Wann ist dann [mm] A^2=0? [/mm] Oder denk an die Eigenwerte!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Di 18.10.2011 | | Autor: | xyz86 |
Ok Danke Leute, aber leider komm ich damit nicht klar. Ich hoffe das man uns das in der Übung nochmal erklärt. Bin halt leider keine Mathematiker.
Danke nochmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Di 18.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Oh Mann, wieviele Tipps brauchst Du noch ?
Ansatz: [mm] $A=\pmat{ a & b \\ 0 & c }$
[/mm]
Berechne [mm] A^2.
[/mm]
Nun soll gelten [mm] A^2=0.
[/mm]
Du wirst sehen: [mm] A^2=0 \gdw [/mm] a=c=0.
Also hat z.B. die Matrix [mm] $A=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }$ [/mm] die gewünschte Eigenschaft.
Setze nun
[mm] f(\vektor{x \\ y}):=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }*\vektor{x \\ y}$,
[/mm]
also [mm] f(\vektor{x \\ y})= \vektor{y \\ 0}.
[/mm]
So, nun berechne mal ker(f) und im (f)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:12 Mi 19.10.2011 | | Autor: | xyz86 |
Ker(f)berechne ich nach dem was man uns in der Vorleung gesagt hat (im Übrigen waren das zu dem ganzen thema 2 Sätze)
[mm] \vektor{y \\ 0}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
y=0
0=0
damit ist x egal
Daraus folgt das der [mm] Ker(f)=\{\vektor{0 \\ 0},\lambda \vektor{1 \\0} }
[/mm]
Das Bild sind die linear unabhängig Vektoren der Matrix:
[mm] Im(f)=\{\vektor{0 \\ 0},\vektor{1 \\0} }
[/mm]
Vielen DAnk für die Geduld.
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