Kern eines Ringhomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Di 07.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Hallo Leute,
und zwar steht in meinem Skript, dass der Kern eines Ringhomos kein Unterring ist.
Sagen wir, ich habe einen Ringhomo.: $f:R->S$ wobei R und S Ringe sind. Der Kern von f sind ja alle Element, die auf das neutrale Element von S geschmissen werden, meine Frage ist nun, handelt es sich dabei um die "0" oder um die "1" als neutrales Element?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Di 07.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> und zwar steht in meinem Skript, dass der Kern eines
> Ringhomos kein Unterring ist.
Bei euch haben Ringe also immer eine Eins.
> Sagen wir, ich habe einen Ringhomo.: [mm]f:R->S[/mm] wobei R und S
> Ringe sind. Der Kern von f sind ja alle Element, die auf
> das neutrale Element von S geschmissen werden, meine Frage
> ist nun, handelt es sich dabei um die "0" oder um die "1"
> als neutrales Element?
Es handelt sich um die 0.
Der Kern ist hauptsaechlich dann interessant, wenn man eine Gruppenstruktur hat - andernfalls muss man mit allgemeineren Kongruenzrelationen arbeiten, um das gleiche zu erreichen. Die einzige Gruppenstruktur, die du in jedem Ring hast, ist die Addition, mit neurtalen Element 0. Deswegen betrachtet man den Kern bei Ringhomomorphismen immer bzgl. dem neutralen Element der Addition.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Di 07.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Ah, ok, danke erstmal soweit. Ich sehe halt nur nicht ein, warum es kein Unterring ist. Also Erstes Kriterium muss ja sein, dass Ker(f) eine Untergruppe bzgl. der Addition von R ist, dies gilt, sehe ich ein. Unser 2. Kriterium ist, dass wenn a und b Element vom Ker(f) sind, dann ist ab auch im Kern. Sehe ich auch ein, denn $f(a)*f(b)=f(ab)=0*0=0$. Jetzt kann es ansich ja nur noch am 3. Kriterium hapern, sprich die 1 muss ein Element von Ker(f) sein. Nun sehe ich nicht ein, dass nicht gelten kann f(1)=0, somit wäre ja die 1 ein Element vom Kern, warum gilt das nicht? Ist wahrscheinlich eine dumme Frage, aber ich sehe es nicht.
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Hallo,
wie Felix schon feststellt: Ringe enthalten in Eurer Vorlesung immer eine Eins. (Das ist nicht allerorten so.)
> Ah, ok, danke erstmal soweit. Ich sehe halt nur nicht ein,
> warum es kein Unterring ist. Also Erstes Kriterium muss ja
> sein, dass Ker(f) eine Untergruppe bzgl. der Addition von R
> ist, dies gilt, sehe ich ein. Unser 2. Kriterium ist, dass
> wenn a und b Element vom Ker(f) sind, dann ist ab auch im
> Kern. Sehe ich auch ein, denn [mm]f(a)*f(b)=f(ab)=0*0=0[/mm]. Jetzt
> kann es ansich ja nur noch am 3. Kriterium hapern, sprich
> die 1 muss ein Element von Ker(f) sein.
>Nun sehe ich nicht
> ein, dass nicht gelten kann f(1)=0, somit wäre ja die 1
> ein Element vom Kern, warum gilt das nicht? Ist
> wahrscheinlich eine dumme Frage, aber ich sehe es nicht.
Mal angenommen, es wäre f(1)=0, und irgendein Element a nicht im Kern, also [mm] f(a)\not=0.
[/mm]
Dann hätten wir [mm] f(1*a)=f(a)\not=0, [/mm] aber gleichzeitig f(1*a)=f(1)*f(a)=0*f(a)=0. Das kann also, sofern nicht alles auf die Null abgebildet wird, nicht sein.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Di 07.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> wie Felix schon feststellt: Ringe enthalten in Eurer
> Vorlesung immer eine Eins. (Das ist nicht allerorten so.)
eine interessante Frage ist, ob in ihren Ringen $1 = 0$ zugelassen ist, sprich ob sie den Nullring auch als Ring akzeptieren oder nicht.
> >Nun sehe ich nicht
> > ein, dass nicht gelten kann f(1)=0, somit wäre ja die 1
> > ein Element vom Kern, warum gilt das nicht? Ist
> > wahrscheinlich eine dumme Frage, aber ich sehe es nicht.
>
> Mal angenommen, es wäre f(1)=0, und irgendein Element a
> nicht im Kern, also [mm]f(a)\not=0.[/mm]
> Dann hätten wir [mm]f(1*a)=f(a)\not=0,[/mm] aber gleichzeitig
> f(1*a)=f(1)*f(a)=0*f(a)=0. Das kann also, sofern nicht
> alles auf die Null abgebildet wird, nicht sein.
Jein: falls der Nullring bei ihnen ein Ring ist, sind fuer einen Ringhomomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : R [mm] \to [/mm] S$ die folgenden Aussagen aequivalent:
(i) [mm] $\ker \varphi$ [/mm] ist ein Unterring von $R$;
(ii) [mm] $\ker \varphi [/mm] = R$;
(iii) $S$ ist der Nullring.
Ist der Nullring also kein Ring, so kann keiner der drei Faelle auftreten. Und der Nullring ist genau dann ein Ring, wenn in einem Ring $1 = 0$ sein darf.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Fr 10.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Sorry, dass ich so spät antworte, war unterwegs, ja nun sehe ich es ein, danke!
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