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| Aufgabe | Es sei a= [mm] (v_{1}, v_2, v_3)mit v_1 =\vektor{1\\1 \\ 0}, v_2=\vektor{0\\1\\1}, v_3= \vektor{1\\1 \\ 1} [/mm] und f: [mm] \IR³-> \IR³ [/mm] linera mit [mm] f(v_1) [/mm] = [mm] \vektor{1\\-1\\0}, f(v_2)=\vektor{1\\0\\-1} [/mm] und [mm] f(v_3)=\vektor{0\\1\\-1} [/mm] geg.
a) Berechnen Sie [mm] f(e_1), f(e_2) [/mm] und [mm] f(e_3) [/mm] für die Einheitsvektoren [mm] e_i \in \IR³
[/mm]
b) Bestimmen Sie jeweils eine Basis für Kern (f) und Bild(f). Zeigen Sie, dass die Dimensionsformel in diesem konkreten Fall eingehalten wird. |
Hallo,
ich habe gar keine Idee, wie ich bei der Aufgabe anfangen soll. Kann mir jemand einen Ansatz geben, dass ich zumindest eine Idee bekomme wie ich anzufangen habe. Danke und LG
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> Es sei a= [mm](v_{1}, v_2, v_3)mit v_1 =\vektor{1\\1 \\ 0}, v_2=\vektor{0\\1\\1}, v_3= \vektor{1\\1 \\ 1}[/mm]
> und f: [mm]\IR³-> \IR³[/mm] linera mit [mm]f(v_1)[/mm] = [mm]\vektor{1\\-1\\0}, f(v_2)=\vektor{1\\0\\-1}[/mm]
> und [mm]f(v_3)=\vektor{0\\1\\-1}[/mm] geg.
> a) Berechnen Sie [mm]f(e_1), f(e_2)[/mm] und [mm]f(e_3)[/mm] für die
> Einheitsvektoren [mm]e_i \in \IR³[/mm]
> b) Bestimmen Sie jeweils
> eine Basis für Kern (f) und Bild(f). Zeigen Sie, dass die
> Dimensionsformel in diesem konkreten Fall eingehalten
> wird.
Kann mir jemand einen Ansatz geben, dass ich
> zumindest eine Idee bekomme wie ich anzufangen habe.
Hallo,
stell' zunächst [mm] e_1 [/mm] in der Basis [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] dar,
suche also [mm] a_i [/mm] mit [mm] e_1=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3.
[/mm]
Wenn Du das hast, berechnest Du [mm] f(e_1)=f(a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3).
[/mm]
Für die anderen Einheitsvektoren genauso.
Um den Kern und das Bild zu berechnen, ist es wohl am übersichtlichen, wenn Du dafür dann die Darstellung von f bzgl. der Standardbasis [mm] (e_1, e_2, e_3) [/mm] verwendest.
Gruß v. Angela
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