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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Do 25.11.2004 | | Autor: | Gero |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Huhu, ich bin´s mal wieder! 
Ich hab da mal wieder ne Aufgabe bei der ich nicht weiterkomm. Sie lautet:
" Sei p=char(K)>0 und
T: K[x] \to K[x]
f \to Ableitung von f
Zeige
ker(T)=span(1,x^{p},x^{2p},x^{3p},...)
Bild(T)= span (1,x,...,ohne x^{p-1},...,ohne x^{2p-1},...}."
Klar ist ja K[x] ist ein Polynorm á la a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...
Nun nehm ich mal an, dass ich den span(1,x^{p},x^{2p},...) ist das gleiche als \alpha_{0}+ \alpha_{1}x^{1}+ \alpha_{2}x^{2}+...
Aber wie geht´s jetzt weiter? Kann mir vielleicht jemand helfen?
Danke schonmal im voraus!
Gruß Gero
Ich hab diese Frage nur in diesem Forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Do 25.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Gero!
Bekanntlich ist [mm] $\{1,x,x^2,\ldots\}$ [/mm] eine Basis von [mm] $\IK[x]$.
[/mm]
Die Behauptung folgt dann doch sofort aus
[mm] $T(x^n) [/mm] = n [mm] \cdot x^{n-1} \left\{ \begin{array}{ccc} \ne 0 & \mbox{für} & n \ne k\cdot p,\, k \in \IN_0,\\[5pt] = 0 & \mbox{für} & n = k \cdot p,\, k \in \IN_0. \end{array} \right.$
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Gero |
Danke für deinen Gedankengang, aber ich kann ehrlich gesagt damit nicht viel anfangen! Sorry! Hab mich auch mit ein paar kurzgeschlossen und die können auch nciht wirklich mit dem Tipp was anfangen! Könntest du vielleicht deine Gedankengänge ein bisschen weiter ausführen?
Oder kann sonst noch irgendwer nen Ansatz finden?
Danke schonmal im voraus!
Gruß Gero
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Gero!
Also, jetzt bin ich ehrlich gesagt fast sprachlos. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Was ist denn daran jetzt noch unklar?
Die Monome [mm] $f(x)=x^n$ [/mm] bilden einen Basis von [mm] $\IK[x]$.
[/mm]
Im Kern liegen diejenigen Elemente $f(x) [mm] \in \IK[x]$, [/mm] für die $T(f)=0$ ist.
Jetzt schauen wir uns mal nacheinander die Elemente der Basis an und gucken, welche auf $0$ abgebildet werden.
Also, wie leitet man ein Monom ab?
Für [mm] $f(x)=x^n$ [/mm] gilt doch [mm] $[T(f)](x)=f'(x)=nx^{n-1}$.
[/mm]
Und dies ist im Allgemeinen ungleich $0$. Wann ist es denn gleich $0$? Ja, genau dann, wenn $n$ ein Vielfaches von $f$ ist. Warum? Weil die Charakteristik des Körpers gleich $p$ ist und daher $kpx= 0$ ist für alle $x [mm] \in [/mm] K$.
Also liegen im Kern alle Monome, deren Exponent ein Vielfaches von $p$ ist. Genau das wurde behauptet.
Eine Basis des Bildes wird demnach durch die Bilder der übrigen Basisvektoren gegeben, also durch die Ableitungen von
[mm] $f(x)=x^n$,
[/mm]
wo $n$ kein Vielfaches von $p$ ist. Heraus kommen dann (die skalaren Vielfachen kann man natürlich weglassen) genau die Monome [mm] $f(x)=x^n$, [/mm] wo $n$ nicht von der Form $kp-1$ ist.
Denn für [mm] $f(x)=x^{kp}$ [/mm] wäre ja
$f'(x) = kp [mm] \cdot x^{kp-1}$,
[/mm]
aber das ist ja (siehe oben) gleich $0$.
So ergibt sich dann das behauptete Bild.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Gero |
OK, jetzt wo´s ausführlicher ist, hab ich´s kapiert! Danke für deine Ausführungen! *gg*
Gruß Gero
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