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| Aufgabe | Gegeben ist eine lineare Abbildung g : [mm] \IR^{4} \to \IR^{3} [/mm] .
Die Vektoren (1,0,1,1) und (2,1,0,1) liegen im Kern von g .
Die Vektoren (1,0,2) und (2,1,1) liegen im Bild von g .
a) Welche Dimension haben Kern und Bild von g ?
b) Liegt der Vektor (1,1,0) im Bild von g ? |
zu a) Die Abbildung V [mm] \to [/mm] W ist in diesem Fall [mm] \IR^{4} \to \IR^{3} [/mm] . D.h. dim (V) [mm] \le [/mm] 4 , also auch dim Kern(g) [mm] \le [/mm] 4 und dim Bild(g) [mm] \le [/mm] 3.
Zum Kern von g gehören die Vektoren (1,0,1,1) und (2,1,0,1). Diese sind linear unabhängig voneinander. D.h. dim Kern(g) [mm] \ge [/mm] 2.
Zum Bild von g gehören die Vektoren (1,0,2) und (2,1,1). Diese sind auch linear unabhängig. Also dim Bild(g) [mm] \ge [/mm] 2.
Da allgemein gilt: dim (V) = dim Kern(f) + dim Bild (f)
bedeutet das hier: [mm] \le [/mm] 4 = [mm] \ge [/mm] 2 + [mm] \ge [/mm] 2
also dim (V) = 4 , dim Kern(g) = 2 , dim Bild(g) = 2
Stimmt das ? Kann ich das so machen ?
zu b) Bild(g) = Spann ((1,0,2) , (2,1,1)) (da aus Teilaufgabe a) folgt, dass diese beiden Vektoren eine Basis des Bildes von g sind).
Das bedeutet (1,1,0) müsste linear abhängig zu den Spannvektoren sein damit es im Bild(g) liegt. Ist diese Überlegung richtig ? Oder bin ich total auf dem Holzweg ???
Daraus würde dann folgen, dass des Vektor (1,1,0) nicht im Bild(g) liegt...
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> Gegeben ist eine lineare Abbildung g : [mm]\IR^{4} \to \IR^{3}[/mm]
> .
> Die Vektoren (1,0,1,1) und (2,1,0,1) liegen im Kern von g
> .
> Die Vektoren (1,0,2) und (2,1,1) liegen im Bild von g .
>
> a) Welche Dimension haben Kern und Bild von g ?
>
> b) Liegt der Vektor (1,1,0) im Bild von g ?
> zu a) Die Abbildung V [mm]\to[/mm] W ist in diesem Fall [mm]\IR^{4} \to \IR^{3}[/mm]
> . D.h. dim (V) [mm]\le[/mm] 4
Hallo,
nein, [mm] dim\IR^4 [/mm] =4, also hast Du hier dimV[b]=[b]4, [mm] dim\IR^3=3.
[/mm]
Da Kern g ein Unterraum des [mm] \IR^4 [/mm] ist, ist
> also auch dim Kern(g) [mm]\le[/mm] 4,
und weil Bild g ein Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] ist, ist
> dim Bild(g) [mm]\le[/mm] 3.
> Zum Kern von g gehören die Vektoren (1,0,1,1) und
> (2,1,0,1). Diese sind linear unabhängig voneinander. D.h.
> dim Kern(g) [mm]\ge[/mm] 2.
Ganz genau.
> Zum Bild von g gehören die Vektoren (1,0,2) und (2,1,1).
> Diese sind auch linear unabhängig. Also dim Bild(g) [mm]\ge[/mm] 2.
Ja.
>
> Da allgemein gilt: dim (V) = dim Kern(f) + dim Bild (f)
> bedeutet das hier: [mm]\le[/mm] 4 = [mm]\ge[/mm] 2 + [mm]\ge[/mm] 2
Das ist seltsam aufgeschrieben.
Das müssen wir umgestalten:
[mm] 2\le [/mm] dim Kern = dim V - dim Bild [mm] \le [/mm] 4-2=2 ==> dim Kern g = 2
Fürs Bild entsprechend.
> also dim (V) = 4 , dim Kern(g) = 2 , dim Bild(g) = 2
>
> Stimmt das ?
Ja.
> Kann ich das so machen ?
Wie Du siehst. nahezu.
>
> zu b) Bild(g) = Spann ((1,0,2) , (2,1,1)) (da aus
> Teilaufgabe a) folgt, dass diese beiden Vektoren eine Basis
> des Bildes von g sind).
Ja.
> Das bedeutet (1,1,0) müsste linear abhängig zu den
> Spannvektoren sein damit es im Bild(g) liegt. Ist diese
> Überlegung richtig ?
Völlig richtig.
> Oder bin ich total auf dem Holzweg
> ???
Nein, nobelstes Pflaster.
> Daraus würde dann folgen, dass des Vektor (1,1,0) nicht im
> Bild(g) liegt...
Genau.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Do 11.12.2008 | | Autor: | Lenchen89 |
Na das lief ja gut ^^
Vielen Dank !!!
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