Kern und Bild bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Fuffi |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] die folgendermaßen Definierte Abbildung:
f: (x,y,z) [mm] \mapsto [/mm] (x+2y+z, y+z, -x+3y+4z).
Bestimmen sie Kern(f) und Bild(f) |
Also Kern habe ich raus das ist [mm] <\vektor{1 \\ -1 \\ 1}> [/mm] . Aber was mache ich beim Bild. Ich habe die Abbildungsmatrix aufgestellt:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 4 }
[/mm]
Diese Matrix ist (aufgrund des ersten Ergebnisses logisch) linear abhängig. Aber wie bekomme ich jetzt das Bild raus?
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> Sei f: [mm]\IR^{3} \to \IR^{3}[/mm] die folgendermaßen Definierte
> Abbildung:
> f: (x,y,z) [mm]\mapsto[/mm] (x+2y+z, y+z, -x+3y+z, -x+3y+4z).
> Bestimmen sie Kern(f) und Bild(f)
> Also Kern habe ich raus das ist [mm]<\vektor{1 \\ -1 \\ 1}>[/mm] .
> Aber was mache ich beim Bild. Ich habe die Abbildungsmatrix
> aufgestellt:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 4 }[/mm]
> Diese
> Matrix ist (aufgrund des ersten Ergebnisses logisch) linear
> abhängig. Aber wie bekomme ich jetzt das Bild raus?
Hallo,
bei Deiner Matrix hast Du etwas falsch gemacht/vergessen: sie hat ja nur drei Zeilen!
Das Bild ist die lineare Hülle der Spaltenvektoren. Das ist in jedem Falle richtig, egal, ob sie abhängig sind oder nicht.
Meist lautet die Aufgabe aber, daß man eine Basis des Bildes angeben soll.
Dann mußt Du eine möglichst große unabhängige Teilmenge der Spaltenvektoren finden.
Dein Kern stimmt nicht. Es ist [mm] f\vektor{1 \\ -1 \\ 1}=(1+2*(-1)+1, [/mm] (-1)+1, -1+3*(-1)+1, [mm] -1+3*(-1)+4*1)\not=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Fuffi |
Vielen Dank für die schnelle Antwort mir ist leider oben ein Fehler unterlaufen, wird korrigiert
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