Kern und Bild bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Mo 12.01.2009 | | Autor: | ownshake |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Kern und das Bild der linearen Abbildung A : [mm] \IQ^{3} [/mm] -> [mm] \IQ^{4},
[/mm]
[mm] (\IQ [/mm] ist der Körper der rationalen Zahlen) die beschrieben wird durch die Matrix
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 4\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 3 & 6\\ 1 & 3 & 6 } \in M_{4,3}(\IQ).
[/mm]
Berechnen Sie die Dimensionen dieser beiden Räume. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich weiß jetzt nicht genau wie ich bei der Aufgabe vorgehen soll. Ich weiß wie man Bild und Kern einer Matrix bestimmt, allerdings versteh ich nicht was das mit dem A : [mm] \IQ^{3} [/mm] -> [mm] \IQ^{4}, [/mm] auf sich hat. Das muss ja eine Besonderheit sein.
Sonst haben wir immer Matrizen gelöst wo stand: V : [mm] \IR^{3} [/mm] -> [mm] \IR^{3},
[/mm]
Kann mir vielleicht einer helfen und sagen wie man diese Aufgabe zu behandeln hat?
Gruß
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Hallo ownshake und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Bestimmen Sie den Kern und das Bild der linearen Abbildung
> A : [mm]\IQ^{3}[/mm] -> [mm]\IQ^{4},[/mm]
> [mm](\IQ[/mm] ist der Körper der rationalen Zahlen) die beschrieben
> wird durch die Matrix
>
> A= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 4\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 3 & 6\\ 1 & 3 & 6 } \in M_{4,3}(\IQ).[/mm]
>
> Berechnen Sie die Dimensionen dieser beiden Räume.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> ich weiß jetzt nicht genau wie ich bei der Aufgabe
> vorgehen soll. Ich weiß wie man Bild und Kern einer Matrix
> bestimmt, allerdings versteh ich nicht was das mit dem A :
> [mm]\IQ^{3}[/mm] -> [mm]\IQ^{4},[/mm] auf sich hat. Das muss ja eine
> Besonderheit sein.
> Sonst haben wir immer Matrizen gelöst wo stand: V :
> [mm]\IR^{3}[/mm] -> [mm]\IR^{3},[/mm]
> Kann mir vielleicht einer helfen und sagen wie man diese
> Aufgabe zu behandeln hat?
Das geht genauso wie im "bekannten Fall" 
Du musst nur bedenken, dass die Einträge der Matrix aus dem Körper [mm] $\IQ$ [/mm] sind, der Kern also ein Unterraum des [mm] $\IQ^3$ [/mm] ist, das Bild entsprechend ein Unterraum des [mm] $\IQ^4$
[/mm]
Die Rechnungen laufen analog "wie gewohnt", du rechnest halt "nur" in [mm] $\IQ$
[/mm]
> Gruß
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Mo 12.01.2009 | | Autor: | ownshake |
Danke für den Willkommensgruß :)
Ich habe die Matrix nach Gauss gelöst und dann zwei Gleichungen mit 3 Unbekannten bekommen. Daher habe ich x3 = t, t [mm] \in \IR [/mm] gewählt. zB. t = 1
und dann habe ich für den Kern < [mm] \vektor{-2 \\ 1} [/mm] rausbekommen.
Kann das so richtig sein?
Wäre nett wenn du mir nochmal hilfst :)
P.S. muss t dann [mm] \in \IQ [/mm] sein anstatt [mm] \in \IR?
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Danke für den Willkommensgruß :)
>
> Ich habe die Matrix nach Gauss gelöst und dann zwei
> Gleichungen mit 3 Unbekannten bekommen. Daher habe ich x3 =
> $t, t [mm] \in \IR$ [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") gewählt. zB. t = 1
> und dann habe ich für den Kern < [mm]\vektor{-2 \\ 1}[/mm]
> rausbekommen.
> Kann das so richtig sein?
Nee nee, die Vektoren im Kern, der ein Unterraum des [mm] $\IQ^3$ [/mm] ist, müssen doch 3 Komponenten haben, schreib's nochmal sauber auf!
> Wäre nett wenn du mir nochmal hilfst :)
> P.S. muss t dann [mm] $\in \IQ$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") sein anstatt [mm]\in \IR?[/mm]
Natürlich, was wäre, wenn [mm] $t=\sqrt{2}$ [/mm] wäre, wenn du das mit einem Vektor [mm] $\in\IQ^3$ [/mm] multiplizierst, sind die Einträge nicht mehr aus [mm] $\IQ$ [/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Mo 12.01.2009 | | Autor: | ownshake |
Also als Matrix nach der Umformung erhalte ich:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Daraus schließe ich:
1*x + 2*y + 4*z=0
-3*y - 6*z = 0
2 Gleichungen mit 3 Unbekannten
daher setze ich z = t, t [mm] \in \IQ
[/mm]
und in meinem Beispiel z = 1
Daraus folgt nach einsetzen von z in der 2. Gleichung:
-3*y - 6= 0
-3*y = 6
y= -2
dann setze ich in der ersten GLeichung y und z ein
1*x -4 + 4 = 0
x = 0
x= 0
y= -2
z= 1
Daher Kern = < [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 1} [/mm] >
Wenn t = 1 ist
Ansonsten:
Kern = < [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ t} [/mm] >
Oder habe ich da etwas falsch gemacht?
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Hallo nochmal,
> Also als Matrix nach der Umformung erhalte ich:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Daraus schließe ich:
>
> 1*x + 2*y + 4*z=0
> -3*y - 6*z = 0
>
> 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten
> daher setze ich z = t, t [mm]\in \IQ[/mm]
> und in meinem Beispiel z
> = 1
>
> Daraus folgt nach einsetzen von z in der 2. Gleichung:
> -3*y - 6= 0
> -3*y = 6
> y= -2
>
> dann setze ich in der ersten GLeichung y und z ein
> 1*x -4 + 4 = 0
> x = 0
>
> x= 0
> y= -2
> z= 1
>
> Daher Kern = < [mm]\vektor{0 \\ -2 \\ 1}[/mm] >
Jo, das habe ich auch herausbekommen!
>
> Wenn t = 1 ist
>
> Ansonsten:
> $Kern = [mm] <\vektor{0 \\ -2\red{t} \\ t}>$
[/mm]
>
> Oder habe ich da etwas falsch gemacht?
Nein, alles bestens!
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Mo 12.01.2009 | | Autor: | ownshake |
Super vielen Dank für die Hilfe :)
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