Kern und Bild bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Do 27.01.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Rang der Matrix sowie den Kern der linearen Abbildung A: [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] ^3. Geben sie Basen für Bild A und Kern A an. Verifizieren Sie die Dimensionsformel für lineare Abbildungen in diesem Beispiel.
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 } \in [/mm] M (3x3, [mm] \IR) [/mm] |
ich habs so weit umgeformt:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
also habe ich Rang=1
dann habe ich nach x1 umgeformt:
[mm] x_{1}=-2x_{2}-3x_{3}
[/mm]
so habe ich schon mal die ersten zahlen der zwei Vektoren, habe auch getestet, dass da 0 rauskommt, aber wie bekomme ich die anderen 2 komponenten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie den Rang der Matrix sowie den Kern der
> linearen Abbildung A: [mm]\IR^4[/mm] -> [mm]\IR[/mm] ^4. Geben sie Basen für
> Bild A und Kern A an. Verifizieren Sie die Dimensionsformel
> für lineare Abbildungen in diesem Beispiel.
>
> A= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 } \in[/mm] M (4x4,
> [mm]\IR)[/mm]
>
> ich habs so weit umgeformt:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
Das stimmt nicht . Rechne mal vor.
FRED
> also habe ich
> Rang=1
> dann habe ich nach x1 umgeformt:
> [mm]x_{1}=-2x_{2}-3x_{3}[/mm]
>
> so habe ich schon mal die ersten zahlen der zwei Vektoren,
> habe auch getestet, dass da 0 rauskommt, aber wie bekomme
> ich die anderen 2 komponenten?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Do 27.01.2011 | | Autor: | kioto |
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5}
[/mm]
II-2I
III - 3I
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & -4}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
was hab ich falsch gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5}[/mm]
>
> II-2I
> III - 3I
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & -4}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> was hab ich falsch gemacht?
Wieso stehen in der 2. Zeile nur Nullen ???
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Do 27.01.2011 | | Autor: | kioto |
> > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5}[/mm]
> >
> > II-2I
> > III - 3I
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & -4}[/mm]
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
> >
> > was hab ich falsch gemacht?
>
> Wieso stehen in der 2. Zeile nur Nullen ???
>
> FRED
>
2xII + III
geht das nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5}[/mm]
> > >
> > > II-2I
> > > III - 3I
> > >
> > > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & -4}[/mm]
> > >
> > > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
> > >
> > > was hab ich falsch gemacht?
> >
> > Wieso stehen in der 2. Zeile nur Nullen ???
> >
> > FRED
> >
> 2xII + III
> geht das nicht?
Du meinst wohl - 2xII + III. Wenn Du das machst bekommst Du:
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Do 27.01.2011 | | Autor: | kioto |
dann bekomme ich
x2=-2x3
x1=x3
wir kann ich weiter machen?
habe ich dann
x1, -2x3, x3 raus?
kioto
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> dann bekomme ich
> x2=-2x3
> x1=x3
>
> wir kann ich weiter machen?
> habe ich dann
> x1, -2x3, x3 raus?
[mm] x_3 [/mm] kannst Du frei wählen. Setze [mm] t:=x_3
[/mm]
Die Lösungen des Lgs sind dann gegeben durch
[mm] $\{ t*\vektor{1 \\ -2 \\ 1}: t \in \IR \}$
[/mm]
FRED
>
> kioto
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Do 27.01.2011 | | Autor: | kioto |
> > dann bekomme ich
> > x2=-2x3
> > x1=x3
> >
> > wir kann ich weiter machen?
> > habe ich dann
> > x1, -2x3, x3 raus?
>
>
> [mm]x_3[/mm] kannst Du frei wählen. Setze [mm]t:=x_3[/mm]
>
> Die Lösungen des Lgs sind dann gegeben durch
>
>
> [mm]\{ t*\vektor{1 \\ -2 \\ 1}: t \in \IR \}[/mm]
>
> FRED
>
> >
> > kioto
>
[mm]\{ t*\vektor{1 \\ -2 \\ 1}: t \in \IR \}[/mm] ist also ein basis von kern, richtig? und als basis fürs bild kann ich dann das nehmen?
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} \vektor{0 \\ -1 \\ -2}
[/mm]
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Hallo kioto,
> > > dann bekomme ich
> > > x2=-2x3
> > > x1=x3
> > >
> > > wir kann ich weiter machen?
> > > habe ich dann
> > > x1, -2x3, x3 raus?
> >
> >
> > [mm]x_3[/mm] kannst Du frei wählen. Setze [mm]t:=x_3[/mm]
> >
> > Die Lösungen des Lgs sind dann gegeben durch
> >
> >
> > [mm]\{ t*\vektor{1 \\
-2 \\
1}: t \in \IR \}[/mm]
> >
> > FRED
> >
> > >
> > > kioto
> >
>
> [mm]\{ t*\vektor{1 \\
-2 \\
1}: t \in \IR \}[/mm] ist also ein basis
> von kern, richtig?
Nein, totaler Unsinn.
Der Kern ist eindimensional.
Aus wievielen Vektoren besteht deine vermeintliche Basis?
Aus unendlich vielen, deine Menge enthält unendlich viele Vektoren.
Die Menge oben ist der Kern.
Was ist denn überhaupt der Kern einer linearen Abbildung?
Eine Basis wäre [mm] $\vektor{1\\-2\\1}$
[/mm]
> und als basis fürs bild kann ich dann
> das nehmen?
>
> [mm]\vektor{1 \\
2 \\
3} \vektor{0 \\
-1 \\
-2}[/mm]
Wieso das?
Das Bild ist 2dim., soweit richtig!
Aber wodurch wird das Bild denn aufgespannt?
Von den Spaltenvektoren der Matrix A.
Wähle dir also 2 lin. unabh. Spaltenvektoren von A als Basis für das Bild!
Du musst genauer ins Skript oder die Mitschrift gucken und weniger raten!
Mache dich mit den Begriffen vertraut!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Do 27.01.2011 | | Autor: | kioto |
> Hallo kioto,
>
> > > > dann bekomme ich
> > > > x2=-2x3
> > > > x1=x3
> > > >
> > > > wir kann ich weiter machen?
> > > > habe ich dann
> > > > x1, -2x3, x3 raus?
> > >
> > >
> > > [mm]x_3[/mm] kannst Du frei wählen. Setze [mm]t:=x_3[/mm]
> > >
> > > Die Lösungen des Lgs sind dann gegeben durch
> > >
> > >
> > > [mm]\{ t*\vektor{1 \\
-2 \\
1}: t \in \IR \}[/mm]
> > >
> > > FRED
> > >
> > > >
> > > > kioto
> > >
> >
> > [mm]\{ t*\vektor{1 \\
-2 \\
1}: t \in \IR \}[/mm] ist also ein
> basis
> > von kern, richtig?
>
> Nein, totaler Unsinn.
>
> Der Kern ist eindimensional.
>
> Aus wievielen Vektoren besteht deine vermeintliche Basis?
>
> Aus unendlich vielen, deine Menge enthält unendlich viele
> Vektoren.
>
> Die Menge oben ist der Kern.
>
> Was ist denn überhaupt der Kern einer linearen Abbildung?
>
>
> Eine Basis wäre [mm]\vektor{1\\-2\\1}[/mm]
>
> > und als basis fürs bild kann ich dann
> > das nehmen?
> >
> > [mm]\vektor{1 \\
2 \\
3} \vektor{0 \\
-1 \\
-2}[/mm]
>
> Wieso das?
>
> Das Bild ist 2dim., soweit richtig!
>
> Aber wodurch wird das Bild denn aufgespannt?
>
> Von den Spaltenvektoren der Matrix A.
>
> Wähle dir also 2 lin. unabh. Spaltenvektoren von A als
> Basis für das Bild!
>
> Du musst genauer ins Skript oder die Mitschrift gucken und
> weniger raten!
>
> Mache dich mit den Begriffen vertraut!
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
kann ich dann das umgeformte nehmen? also
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ 0} [/mm] ?
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Hallo nochmal,
gerade sehe ich, dass die Aufgabe völlig wirr ist.
Du schreibst, dass [mm]A[/mm] eine lineare Abb. von [mm]\IR^4\to\IR^4[/mm] ist.
Dann muss [mm]A[/mm] aber eine [mm]4\times 4[/mm]-Matrix sein.
Du gibst für [mm]A[/mm] aber eine [mm]3\times 3[/mm]-Matrix in der Aufgabenstellung an.
Und nun tauchen wieder Vektoren aus dem [mm]\IR^4[/mm] auf.
Mysteriös, das Ganze!
Worum geht's hier also genau??
Schreibe bitte die komplette Aufgabenstellung auf.
Sonst ist das hier heiteres Rätselraten mit G. Jauch ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
Deine ZSF war
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] $.
> > > und als basis fürs bild kann ich dann
> > > das nehmen?
> > >
> > > [mm]\vektor{1 \\
2 \\
3} \vektor{0 \\
-1 \\
-2}[/mm]
Puh. Was soll man dazu sagen?
Also: weil Deine Ausgangsmatrix von einer speziellen Machart ist (symmetrisch) klappt das hier so.
Diese Basis ist richtig - aber mehr oder weniger zufällig...
Aber wenn Du andere Matrizen hast, erleidest Du mit dieser Vorgehensweise Schiffbruch.
Du kannst es dann so machen:
die führenden Zeilenelemente der Nichtnullzeilen Deiner ZSF stehen in der 1. und 2. Spalte.
Dann sind die 1. und 2.Spalte der Ausgangsmatrix (!) eine Basis des Bildes.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Fr 28.01.2011 | | Autor: | kioto |
meinst damit die?
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} \vektor{2 \\ 3 \\ 4} [/mm] ?
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Hallo,
> Hallo, meinst du damit die?
>
> [mm]\vektor{1 \\
2 \\
3} \vektor{2 \\
3 \\
4}[/mm] ?
Ja, die meint Angela
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Fr 28.01.2011 | | Autor: | kioto |
> Hallo,
>
> > Hallo, meinst du damit die?
> >
> > [mm]\vektor{1 \\
2 \\
3} \vektor{2 \\
3 \\
4}[/mm] ?
>
wärs dann bei so nem matrix [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 7 } [/mm] dann [mm] \vektor{1\\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm] und [mm] \vektor{2\\ 3 \\ 4 \\ 5} [/mm] eine Basis vom Bild?
> Ja, die meint Angela
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
danke!
kioto
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> wärs dann bei so nem matrix [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6 \\
4 & 5 & 6 & 7 }[/mm]
> dann [mm]\vektor{1\\
2 \\
3 \\
4}[/mm] und [mm]\vektor{2\\
3 \\
4 \\
5}[/mm]
> eine Basis vom Bild?
Hallo,
auf einen Blick sehe ich sowas schlecht.
Du müßtest mal die ZSF vorzeigen, dann könnte man es ablesen.
Wenn die Matrix den Rang 2 hat und die führenden Elemente der Nichtnullzeilen in der 1. und 2. Spalte stehen, dann ist's so, wie Du sagst.
(Deine neue Matrix ist ja aber auch wieder symmetrisch, so daß Du hier mit Deiner in diesem Thread zuerst verwendeten Methode auch zum Ziel kommen würdest.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Fr 28.01.2011 | | Autor: | kioto |
>
> Wenn die Matrix den Rang 2 hat und die führenden Elemente
> der Nichtnullzeilen in der 1. und 2. Spalte stehen, dann
> ist's so, wie Du sagst.
>
> Gruß v. Angela
>
hallo angela,
ich versteh nicht ganz was du mit " die führenden Elemente
der Nichtnullzeilen" meinst
in ZSF siehts so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]
sind die dann (1,2) und (0,-1)?
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> hallo angela,
> ich versteh nicht ganz was du mit " die führenden
> Elemente
> der Nichtnullzeilen" meinst
> in ZSF siehts so aus:
> [mm]\pmat{ \red{1 }& 2 & 3 & 4 \\
0 & \red{-1} & -2 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Hallo,
irgendwie versteht sich das doch (nahezu) selbstredend, oder nicht?
Was Zeilen sind, weißt Du.
Nichtnullzeilen sind die Zeilen, in denen es von Null verschiedene Elemente gibt.
Die führenden Elementen dieser Zeilen sind die ersten Elemente von links, die von Null verschieden sind. Ich markiere sie rot.
Ja, wenn das wirklich die ZSF ist, was ich jetzt nicht nachrechne, dann hast Du eine Basis des Bildes zuvor richtig gesagt.
Gruß v. Angela
> sind die dann (1,2) und (0,-1)?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Do 27.01.2011 | | Autor: | kioto |
> > dann bekomme ich
> > x2=-2x3
> > x1=x3
> >
> > wir kann ich weiter machen?
> > habe ich dann
> > x1, -2x3, x3 raus?
>
>
> [mm]x_3[/mm] kannst Du frei wählen. Setze [mm]t:=x_3[/mm]
>
> Die Lösungen des Lgs sind dann gegeben durch
>
>
> [mm]\{ t*\vektor{1 \\ -2 \\ 1}: t \in \IR \}[/mm]
>
wenn ich t für x3 einsetzte, warum steht anstelle von x3 ne 1?
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Hallo,
ein Profileintrag bzgl Deiner Vorbildung und Deines Studienfaches (sofern Du studierst) wäre nicht schlecht.
Es ist ein Unterschied beim Antworten, ob jemand Physik oder Milchwirtschaft studiert.
> > > dann bekomme ich
> > > x2=-2x3
> > > x1=x3
> > >
> > > wir kann ich weiter machen?
Du weißt jetzt, daß alle Lösungen [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] Deines linearen homogenen Gleichungssystems , also alle Elemente des Kerns der Matrix, diese Gestalt haben
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{x_3\\-2x_3\\x_3}=x_3*\vektor{1\\-2\\1}, [/mm] wobei [mm] x_3 [/mm] frei wählbar ist.
Alle Vielfachen von [mm] \vektor{1\\-2\\1} [/mm] sind also Elemente des Kerns, und der Vektor [mm] \vektor{1\\-2\\1} [/mm] ist eine Basis des Kerns.
Gruß v. Angela
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