Kern und Bild einer Matrix < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | gegeben ist die Matrix
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & -3 & -2 & -2 \\
1 & 3 & -2 & -0 & -4 \\
3 & 8 & -7 & -2 & 11 \\
2 & 1 & -9 & -10 & -3
\end{pmatrix}
[/mm]
Bestimmen sie Basen von Kern und Bild der folgenden Abbildungen:
[mm] \IR^5 \rightarrow \IR^4, [/mm] x [mm] \rightarrow [/mm] Ax und
[mm] \IR^4 \rightarrow \IR^5, [/mm] x [mm] \rightarrow [/mm] Ax |
Ich hab es auf verschiedenste weise versucht jedoch komme ich nicht zurrecht mit den Begriffen Kern und Bild,
ich habe das Bild als die Menge aller linear unabhängigen spaltenvektoren verstanden und den Kern als Menge aller linear unabhängigen zeilenvektoren wie ich daraus jedoch noch ne Basis machen soll...bin ein wenig verwirrt..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> gegeben ist die Matrix
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3 & -2 & -2 \\
1 & 3 & -2 & -0 & -4 \\
3 & 8 & -7 & -2 & 11 \\
2 & 1 & -9 & -10 & -3
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Bestimmen sie Basen von Kern und Bild der folgenden
> Abbildungen:
>
> [mm]\IR^5 \rightarrow \IR^4,[/mm] x [mm]\rightarrow[/mm] Ax und
> [mm]\IR^4 \rightarrow \IR^5,[/mm] x [mm]\rightarrow[/mm] Ax
Die zweite Angabe macht keinen Sinn, wahrscheinlich ist [mm] $x\mapsto [/mm] A^Tx$ gemeint?
> Ich hab es auf verschiedenste weise versucht jedoch komme
> ich nicht zurrecht mit den Begriffen Kern und Bild,
>
> ich habe das Bild als die Menge aller linear unabhängigen
> spaltenvektoren verstanden
Ja, bringe dazu die Matrix in Zeilenstufenform. Eine Basis des Bildes sind dann die Spaltenvektoren der unsprünglichen Matrix, die zu den Spalten mit den Pivotelementen (=erster nicht verschwindener Eintrag einer Spalte) korrespondieren.
> und den Kern als Menge aller
> linear unabhängigen zeilenvektoren wie ich daraus jedoch
> noch ne Basis machen soll...bin ein wenig verwirrt..
>
Um den Kern einer Matrix A zubestimmen, musst du das homogene Gleichungssystem Ax=0 lösen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß Patrick
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> Ja, bringe dazu die Matrix in Zeilenstufenform. Eine Basis
> des Bildes sind dann die Spaltenvektoren der
> unsprünglichen Matrix, die zu den Spalten mit den
> Pivotelementen (=erster nicht verschwindener Eintrag einer
> Spalte) korrespondieren.
Ich habe das Homogene LGS Gelöst, das heisst die 1,2 und die 5 Spalte sind meine Basen für das Bild, wie komme ich jetzt auf den Kern?
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & -3 & -2 & -2 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 2 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Vielen dank für die schnelle Hilfe.
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Hallo apgelquark,
> > Ja, bringe dazu die Matrix in Zeilenstufenform. Eine Basis
> > des Bildes sind dann die Spaltenvektoren der
> > unsprünglichen Matrix, die zu den Spalten mit den
> > Pivotelementen (=erster nicht verschwindener Eintrag einer
> > Spalte) korrespondieren.
> Ich habe das Homogene LGS Gelöst, das heisst die 1,2 und
> die 5 Spalte sind meine Basen für das Bild, wie komme ich
> jetzt auf den Kern?
>
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3 & -2 & -2 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 2 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/mm]
Poste Deine Rechenschritte, wie Du auf diese Matrix kommst.
Ich erhalte eine Matrix, die sich in der 5. Spalte von Deiner unterscheidet.
>
> Vielen dank für die schnelle Hilfe.
Gruss
MathePower
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[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & -5 & -6 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
das müsste die richtige lösung sein...meine frage ist nur wie kann ich hier den kern ablesen?
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> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & -5 & -6 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> das müsste die richtige lösung sein...meine frage ist nur
> wie kann ich hier den kern ablesen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Kochrezept:
Hilfszeilen mit Nullen und einer Minuseins einschieben, so daß die Matrix quadratisch wird und auf der Hauptdiagonalen -1 steht:
[mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & -5 & -6 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0\\
\green{0 } & \green{0 } & \green{-1} & \green{0 } &
\green{0 } & \green{0 } \\
\green{0 } & \green{0 } & \green{0} & \green{-1} &
\green{0 } & \green{0 } \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\green{0 } & \green{0 } & \green{0} & \green{0 } &
\green{0 } & \green{-1 } \\
\end{pmatrix}[/mm]
Die Spalten mit den frischen Minuseinsen bilden eine Basis des Kerns.
Gruß v. Angela
>
>
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also ist die Dimension des Kerns 3?
da ich auf die Basen:
[mm] \begin{pmatrix}
5 \\
-1\\
1\\
0\\
0\\
\end{pmatrix}
[/mm]
und
[mm] \begin{pmatrix}
6 \\
-2\\
0\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}
[/mm]
komme und somit mein Kern die Dimension 3.
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> also ist die Dimension des Kerns 3?
Hallo,
ja.
>
> da ich auf die Basen:
Du meinst: die Basisvektoren
>
> [mm]\begin{pmatrix} 5 \\
-1\\
1\\
0\\
0\\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\begin{pmatrix} 6 \\
-2\\
0\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}[/mm]
> komme
das sind aber nur zwei bisher...
Gruß v. Angela
und somit
> mein Kern die Dimension 3.
>
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Hat das bild zu dieser Matrix auch drei Dimensionen?
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & -5 & -6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}
[/mm]
Das hab ich nämlich raus da ich ja drei Einsen habe?
nochmals vielen vielen dank..
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Hallo apgelquark,
> Hat das bild zu dieser Matrix auch drei Dimensionen?
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & -5 & -6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}[/mm]
>
> Das hab ich nämlich raus da ich ja drei Einsen habe?
Das Bild hat Dimension 3, der Kern jedoch die Dimension 2.
>
> nochmals vielen vielen dank..
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Sa 01.01.2011 | | Autor: | MathePower |
Hallo angela.h.b,
>
> > also ist die Dimension des Kerns 3?
>
> Hallo,
>
> ja.
>
> >
> > da ich auf die Basen:
>
> Du meinst: die Basisvektoren
> >
> > [mm]\begin{pmatrix} 5 \\
-1\\
1\\
0\\
0\\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > und
> >
> > [mm]\begin{pmatrix} 6 \\
-2\\
0\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> > komme
>
> das sind aber nur zwei bisher...
Die Ausgangsmatrix ist eine4x5-Matrix.
Diese Ausgangsmatrix wurde um eine Nullspalte erweitert.
Aufgrund dessen wurde dann der Kern gebildet, welcher
dann fälschlicherweitse Dimension 3 hat.
Nun, da die Ausgangsmatrix eine 4x5-Matrix ist,
hat der Kern die Dimensionn 2.
Somit ist die Angabe von zwei Basisvektoren richtig.
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
>
> und somit
> > mein Kern die Dimension 3.
> >
>
Gruss
MathePower
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> Hallo angela.h.b,
>
> >
> > > also ist die Dimension des Kerns 3?
> >
> > Hallo,
> >
> > ja.
> >
> > >
> > > da ich auf die Basen:
> >
> > Du meinst: die Basisvektoren
> > >
> > > [mm]\begin{pmatrix} 5 \\
-1\\
1\\
0\\
0\\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > und
> > >
> > > [mm]\begin{pmatrix} 6 \\
-2\\
0\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > > komme
> >
> > das sind aber nur zwei bisher...
>
>
> Die Ausgangsmatrix ist eine4x5-Matrix.
>
> Diese Ausgangsmatrix wurde um eine Nullspalte erweitert.
Hallo,
achso - ich hatte das nicht zurückverfolgt.
>
> Aufgrund dessen wurde dann der Kern gebildet, welcher
> dann fälschlicherweitse Dimension 3 hat.
>
> Nun, da die Ausgangsmatrix eine 4x5-Matrix ist,
> hat der Kern die Dimensionn 2.
>
> Somit ist die Angabe von zwei Basisvektoren richtig.
Dann haben wir es allerdings mit einem zweidimensionalen Kern zu tun.
Gruß v. Angela
>
>
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
> >
> >
> > und somit
> > > mein Kern die Dimension 3.
> > >
> >
>
> Gruss
> MathePower
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Was hat eigentlich die in der Aufgabenstellung das
[mm] \IR^4 \rightarrow \IR^5 [/mm] zu bedeuten also was ist wenn da zum beispiel das:
[mm] \IR^5 \rightarrow \IR^4 [/mm] steht?
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Hallo apgelquark,
> Was hat eigentlich die in der Aufgabenstellung das
>
> [mm]\IR^4 \rightarrow \IR^5[/mm] zu bedeuten also was ist wenn da
> zum beispiel das:
>
> [mm]\IR^5 \rightarrow \IR^4[/mm] steht?
Das ist dann eine Abbildung vom 5-dimensionalen R-Vektorraum
in den 4-dimensionalen R-Vektorraum.
Gruss
MathePower
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