Kerne bei unendlichdim BR < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei X ein unendlichdimensionaler Banachraum und seien [mm] f_{1},...,f_{k}\in X^{\star}. [/mm]
Zu zeigen: es gibt [mm] y\in X\backslash\{0\} [/mm] mit [mm] f_{i}(y)=0 [/mm] für alle i |
Hallo!
Also irgendwie erscheint mir das überhaupt nicht klar, warum sollte endlich viele Kerne von Linearformen unbedingt einen nicht trivialen Schnitt haben?
Wenn man das darf, könnte man zwar mit der Dimensionsformel argumentieren, dass die Kerne allesamt unendlichdimensional sein müssen, aber wie findet man ein anderes gemeinsames Element in allen Kernen?
Mmh, könnte man unter der Annahme, dass der Schnitt trivial ist irgendwie Endlichdimensionaliät von X folgern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:21 So 26.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei X ein unendlichdimensionaler Banachraum und seien
> [mm]f_{1},...,f_{k}\in X^{\star}.[/mm]
> Zu zeigen: es gibt [mm]y\in X\backslash\{0\}[/mm] mit [mm]f_{i}(y)=0[/mm]
> für alle i
> Hallo!
>
> Also irgendwie erscheint mir das überhaupt nicht klar,
> warum sollte endlich viele Kerne von Linearformen unbedingt
> einen nicht trivialen Schnitt haben?
Nun, der Kern einer Linearform hat Kodimension 1. Also hat der Schnitt von $k$ solchen Kernen hoechstens Kodimension $k$.
> Wenn man das darf, könnte man zwar mit der
> Dimensionsformel argumentieren, dass die Kerne allesamt
> unendlichdimensional sein müssen, aber wie findet man ein
> anderes gemeinsames Element in allen Kernen?
> Mmh, könnte man unter der Annahme, dass der Schnitt
> trivial ist irgendwie Endlichdimensionaliät von X folgern?
Mach doch folgendes: schau dir die Abbildung $f : X [mm] \to \IK^k$, [/mm] $v [mm] \mapsto (f_1(v), \dots, f_k(v))$ [/mm] an.
Der Kern von $f$ entspricht gerade der Menge von Elementen, fuer die alle [mm] $f_i$ [/mm] gleichzeitig verschwinden.
Warum ist [mm] $\ker [/mm] f [mm] \neq \{ 0 \}$?
[/mm]
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 So 26.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei
[mm] $M:=\{ f_{1},...,f_{k}\}. [/mm] $
und U die lineare Hülle von M. U ist endlich dimensional, also ist U abgeschlossen.
Es ist [mm] $U^{\perp}=\{y \in X: f_1(y)=...=f_k(y)=0\}$
[/mm]
Annahme: [mm] U^{\perp}= \{0\}: [/mm] Dann ist [mm] U^{\perp \perp}=X^{\star}
[/mm]
Da U abgeschlossen ist, ist [mm] U=U^{\perp \perp}. [/mm] Somit ist [mm] X^{\star} [/mm] endlichdimensional und damit ist auch X endlichdim. , Widerspruch.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 So 26.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Fred,
ist das nicht ein wenig mit Kanonen auf Spatzen geschossen? :)
LG Felix
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