Kettenbruchentwicklung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zu zeigen ist: [mm] \sqrt{a^2+1} [/mm] besitzt die Kettenbruchentwicklung [a;2a,2a,...] |
Dieses Beispiel ist in meinem Skriptum vorgerechnet.
Nur einen Schritt verstehe ich nicht: Am Anfang definiert man sich [mm] \xi [/mm] als den Kettenbruch [a;2a,2a,...].
Nun steht da: [mm] \xi=2a+\frac{1}{\xi}.
[/mm]
Warum gilt das?
|
|
| |
|
Hallo,
> Zu zeigen ist: [mm]\sqrt{a^2+1}[/mm] besitzt die
> Kettenbruchentwicklung [a;2a,2a,...]
> Dieses Beispiel ist in meinem Skriptum vorgerechnet.
> Nur einen Schritt verstehe ich nicht: Am Anfang definiert
> man sich [mm]\xi[/mm] als den Kettenbruch [a;2a,2a,...].
>
> Nun steht da: [mm]\xi=2a+\frac{1}{\xi}.[/mm]
>
> Warum gilt das?
Wie bestimmt man den Kehrwert eines Kettenbruchs? Mach Dir dazu mal Gedanken. Wie Du sicher weißt, entwickelt man einen Kettenbruch ja, indem man in jedem Schritt den ganzzahligen Anteil "abspaltet" und von dem Rest (<1) den Kehrwert bildet. Diesen Prozess musst Du hier rückwärts angehen.
Probiers erstmal mit der Kettenbruchentwicklung von [mm] \tfrac{7}{5}, [/mm] schreib sie dir auf - und versuche dann, den Kehrwert des Kettenbruchs zu bilden. Vergleiche erst dann mit der Kettenbruchentwicklung von [mm] \tfrac{5}{7}, [/mm] die natürlich gleich sein sollte.
Erkennst du ein Prinzip?
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Hm.
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich verstehe was du meinst.
Wenn ich [mm] \frac{7}{5} [/mm] entwickle, habe ich [mm] \frac{7}{5}=1+\frac{1}{\frac{5}{2}}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}.
[/mm]
Und der Kehrwert davon wäre [mm] \frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}.
[/mm]
Und [mm] \frac{5}{7}=\frac{1}{\frac{7}{5}}=\frac{1}{1+\frac{2}{5}}=\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{5}{2}}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}, [/mm] was natürlich das gleiche ist.
Aber wie kann ich das auf mein Beispiel anwenden?
Und dann noch etwas: Nach dieser Formel müsste ja die Kettenbruchentwicklung von [mm] \sqrt{2}=[2,1,1,...] [/mm] sein.
Aber [mm] \sqrt{2} [/mm] ist doch gar nicht [mm] 2+\frac{1}{\sqrt{2}}?
[/mm]
Wo ist mein Fehler? Bitte verzeiht meine Dummheit!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Do 23.06.2011 | | Autor: | abakus |
> Hm.
> Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich verstehe was du
> meinst.
> Wenn ich [mm]\frac{7}{5}[/mm] entwickle, habe ich
> [mm]\frac{7}{5}=1+\frac{1}{\frac{5}{2}}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}.[/mm]
> Und der Kehrwert davon wäre
> [mm]\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}.[/mm]
> Und
> [mm]\frac{5}{7}=\frac{1}{\frac{7}{5}}=\frac{1}{1+\frac{2}{5}}=\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{5}{2}}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}},[/mm]
> was natürlich das gleiche ist.
>
> Aber wie kann ich das auf mein Beispiel anwenden?
>
> Und dann noch etwas: Nach dieser Formel müsste ja die
> Kettenbruchentwicklung von [mm]\sqrt{2}=[2,1,1,...][/mm] sein.
Wo nimmst du die 2 her? 2 ist immer noch 1+1 bzw [mm] 1^2+1, [/mm] und wenn du auf [mm] \wurzel{1^2+1} [/mm] die obige Formel anwendest, taucht an erster Stelle keine 2 auf.
Gruß Abakus
> Aber [mm]\sqrt{2}[/mm] ist doch gar nicht [mm]2+\frac{1}{\sqrt{2}}?[/mm]
>
> Wo ist mein Fehler? Bitte verzeiht meine Dummheit!
|
|
|
| |
|
Tut mir leid, es war natürlich [1,2,2,2,...],
aber [mm] \sqrt(2) [/mm] ist doch trotzdem nicht [mm] 2+\frac{1}{\sqrt{2}}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Tut mir leid, es war natürlich [1,2,2,2,...],
> aber [mm]\sqrt(2)[/mm] ist doch trotzdem nicht
> [mm]2+\frac{1}{\sqrt{2}}?[/mm]
Da hast Du vollkommen Recht. Deine Musterlösung ist fehlerhaft. Deswegen hänge ich die weitere Antwort mal an die ursprüngliche Frage.
Grüße
rev
|
|
|
| |
|
So, da bin ich wieder...
> Zu zeigen ist: [mm]\sqrt{a^2+1}[/mm] besitzt die
> Kettenbruchentwicklung [a;2a,2a,...]
Vorab: das ist richtig.
> Dieses Beispiel ist in meinem Skriptum vorgerechnet.
> Nur einen Schritt verstehe ich nicht: Am Anfang definiert
> man sich [mm]\xi[/mm] als den Kettenbruch [a;2a,2a,...].
>
> Nun steht da: [mm]\xi=2a+\frac{1}{\xi}.[/mm]
>
> Warum gilt das?
Das gilt nicht, und das ist mir beim ersten Beantworten nicht aufgefallen, sorry.
Wie leicht zu überprüfen ist, gilt dann [mm] \xi=a\pm\wurzel{a^2+1}
[/mm]
Richtig wäre gewesen:
[mm] \xi=a+\bruch{1}{\xi+a}
[/mm]
Du siehst, das das richtig ist, wenn Du anfängst, auf beiden Seiten die Kettenbrüche auszuschreiben.
Durch Äquivalenzumformung kommt man zu [mm] \xi^2+\green{a\xi}=\green{a\xi}+a^2+1
[/mm]
Nachdem man die grünen Terme eliminiert hat, steht ja eigentlich alles da, was man wissen wollte.
Entschuldige, dass ich Dich erst auf einen Umweg gelotst habe, statt die Musterlösung zu überprüfen. Das ist leider allzuoft nötig...
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Ah, danke, jetzt hab ichs verstanden!
Offenbar war da ein Fehler im Skriptum..
|
|
|
|
